Mettere una matrice in forma di Sylvester

[SimoneSc1]

Salve ho questo esercizio:

Per ognuna delle seguenti matrici $A$ trovare $M$ invertibile tale che $M^TAM$
sia della forma prescritta dal Teorema di Sylvester.

Il professore in aula ha svolto una delle matrici di questo esercizio, ma non ci ho capito granché. Ora ci sto riprovando da solo. La matrice che sto provando a fare è la seguente:

$A = ((0,0,2,0),(0,0,0,3),(2,0,0,0),(0,3,0,0))$

Innanzitutto mi accorgo del fatto che è non degenere perché il determinante è $!=0$ quindi quando la andrò a mettere in forma di Sylvester non dovrò avere nessuno $0$ dico bene?

Ora io so che per costruire una base che metta la matrice di partenza in forma di Sylvester devo scegliere un vettore non isotropo ovvero un vettore $u_1$ tale che $b_A(u_1,u_1) != 0$. E per trovare un vettore non isotropo mi basta prendere un vettore della base canonica o al più sommare tra loro due vettori della base canonica.

In questo caso io ho scelto $u_1 = ((1),(0),(1),(0))$

Infatti:

$b(u_1,u_1) = (1010) ((0,0,2,0),(0,0,0,3),(2,0,0,0),(0,3,0,0))((1),(0),(1),(0)) = 2+2 = 4$

Ora mi calcolo il complemento ortogonale a $u_1^\bot$

$u_1^\bot = {((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) \in RR^4 : b(u_1, ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))) = 0}$

$rArr (1010)((0,0,2,0),(0,0,0,3),(2,0,0,0),(0,3,0,0))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) = (2020)((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) = 2x_1 +2x_3 =0$

E mi trovo lo $Span$ di $u_1^\bot$

$u_1^\bot = Span{((-1),(0),(1),(0)),((0),(1),(0),(0)),((0),(0),(0),(1))}$

Fino a qui è giusto? In caso di risposta affermativa come devo continuare? Mi trovo $u_2^\bot$ e $u_3^\bot$?

Grazie e buona serata.

[j18eos]

...diagonalizzare no?

[solaàl]

"j18eos":...diagonalizzare no?

Scherzi? Poi l'esercizio potrebbe persino venire giusto

[SimoneSc1]

Ciao ragazzi grazie delle risposte. Sono cosciente del fatto che non sia certamente la via più veloce, ma è anche vero che nei compiti di esame non sempre si possono utilizzare le tecniche di risoluzione che più si preferiscono. Se infatti mi viene richiesto di svolgere un limite con la definizione non lo posso risolvere ad esempio con de l'Hôpital o con gli sviluppi di Taylor... a meno che io non voglia farmi bocciare si intende. Metto in conto però il fatto che sia stato io a essere poco chiaro.

In questo caso io devo utilizzare il Teorema di Sylvester e per tentare nell'impresa mi sono basato su un esercizio che aveva già svolto il mio professore in aula e che vi riporto, così se avete voglia e tempo di dargli uno sguardo e poi di aiutarmi lo potete fare

$A = ((0,1),(1,0)) $

$b_A:RR^2xxRR^2rArrRR$

Il professore ha trovato un vettore non isotropo:

$((x_1),(y_1))((x_2),(y_2)) rarr (x_1 y_1)((0,1),(1,0))((x_2),(y_2)) = x_1y_2 + x_2y_1$

$b_A(e_1+e_2, e_1+e_2) != 0$

$v_1 = e_1 + e_2$

$b_A(v_1, v_1) = 2 rarr 1/2b_A(v_1, v_1) = 1 rarr v_1 = 1/sqrt(2) ((1),(1))$

E poi ha trovato il complemento ortogonale rispetto alla forma $b_A$

${((x),(y)) \in RR^2 | x+y=0}$

$v_2 = -e_1 + e_2$

$b_A(v_2, v_2) = -2 rarr 1/2 b_A(v_2, v_2) = -1 rarr v_2 = 1/sqrt(2) ((-1),(1))$

La matrice associata a $b_A$ in questa base è:

$S = ((1,0),(0,-1)) $

Qui iniziano i problemi:

$B = {1/sqrt(2) v_1, 1/sqrt(2) v_2}$

Si è scritto la matrice dalla base $B$ alla base canonica $epsilon$

$C_(epsilonB) = ((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2),1/sqrt(2)))$

E poi si è scritto tutti quanti i cambi di coordinate per capire se la matrice $C$ che aveva scritto coincideva con la matrice $M$ che chiedeva l'esercizio:

$F_epsilon = C xxF_B(x)$
$b_A(x,y) = F_epsilon(x)^t xx A xx F_epsilon(y) = (CxxF_B(x))^txxAxx(CxxF_B(y))$

$ = F_B(x)^t xx S xx F_B(y) = F_B(x)^txxC^tACxxF_B(y)$

E dopo tutto ciò è giunto alla conclusione che la matrice $M$ che stavamo cercando è proprio la matrice $C$.

Comunque devo ammettere di essere un po' lusingato

"solaàl":Scherzi? Poi l'esercizio potrebbe persino venire giusto

infatti non mi avevi mai deliziato con uno dei tuoi commenti come invece avevo visto in altri topic di altri utenti. Pensavo ti stessi antipatico

[j18eos]

Va bene: devi risolvere l'esercizio alla "scavezzacollo"!

Il primo passo l'hai compiuto bene; ora prova a calcolare una base di \(\displaystyle\{\underline{u}_1\}^{\perp}\).