Metriche topologicamente equivalenti
Buon pomeriggio a tutti.
Sto iniziando a studiare Topologia, e sto provando a dedicarmi agli esercizi (semplici eh).
Mi potreste dare una mano?
In un esercizio si chiedeva di stabilire quali, tra una serie di funzioni date, fossero metriche; e fin qui no problem.
L'esercizio successivo chiede di stabilire quali tra le metriche trovate siano topologicamente equivalenti a quella euclidea.
RISOLUZIONE
Prima cosa, definizione di metrica euclidea e di equivalenza topologica (se non procedo per gradi mi incasino)
- metrica euclidea $d_e (x,y) = || x_i - y_i||$ dove x e y sono vettori e $x_i$ e $y_i$ le i-esime componenti.
- due metriche sono topologicamente equivalenti se inducono gli stessi aperti.
La metrica euclidea induce degli aperti di questo tipo:
$B_(epsilon) (x) = {y in X | |x-y| < epsilon}$; quindi per esempio l'aperto indotto da $d_e (0, y)$ sarebbe $B_(epsilon) (0) = {y in X | |y| < epsilon}$ cioè $B_(epsilon) (0) = ( - epsilon, + epsilon)$.
La prima metrica da confrontare è
$d (x,y) = |e^x - e^y|$ su $RR$
L'aperto indotto in 0 è $C_(epsilon) (0) = {y in X | |e^y - 1| < epsilon }$
cioè le y:
$ 1 - epsilon < e^y < 1+ epsilon$
Ora, se $1-epsilon$ è positivo procedo con i logaritmi: $log (1- epsilon) < y < log (1+epsilon)$ è l'aperto è
$C_(epsilon) (0) = ( log (1-epsilon), log (1+epsilon))$.
Se $1- epsilon <0$ allora l'aperto è $C_epsilon (0) = (- oo, log (1+epsilon))$
Quindi, in entrambi i casi gli aperti indotti sono diversi, e le metriche non sono pertanto topologicamente equivalenti.
E' un disastro?
Grazie per l'aiuto e per la pazienza.
Ciao ciao!!
Sto iniziando a studiare Topologia, e sto provando a dedicarmi agli esercizi (semplici eh).
Mi potreste dare una mano?
In un esercizio si chiedeva di stabilire quali, tra una serie di funzioni date, fossero metriche; e fin qui no problem.
L'esercizio successivo chiede di stabilire quali tra le metriche trovate siano topologicamente equivalenti a quella euclidea.
RISOLUZIONE
Prima cosa, definizione di metrica euclidea e di equivalenza topologica (se non procedo per gradi mi incasino)
- metrica euclidea $d_e (x,y) = || x_i - y_i||$ dove x e y sono vettori e $x_i$ e $y_i$ le i-esime componenti.
- due metriche sono topologicamente equivalenti se inducono gli stessi aperti.
La metrica euclidea induce degli aperti di questo tipo:
$B_(epsilon) (x) = {y in X | |x-y| < epsilon}$; quindi per esempio l'aperto indotto da $d_e (0, y)$ sarebbe $B_(epsilon) (0) = {y in X | |y| < epsilon}$ cioè $B_(epsilon) (0) = ( - epsilon, + epsilon)$.
La prima metrica da confrontare è
$d (x,y) = |e^x - e^y|$ su $RR$
L'aperto indotto in 0 è $C_(epsilon) (0) = {y in X | |e^y - 1| < epsilon }$
cioè le y:
$ 1 - epsilon < e^y < 1+ epsilon$
Ora, se $1-epsilon$ è positivo procedo con i logaritmi: $log (1- epsilon) < y < log (1+epsilon)$ è l'aperto è
$C_(epsilon) (0) = ( log (1-epsilon), log (1+epsilon))$.
Se $1- epsilon <0$ allora l'aperto è $C_epsilon (0) = (- oo, log (1+epsilon))$
Quindi, in entrambi i casi gli aperti indotti sono diversi, e le metriche non sono pertanto topologicamente equivalenti.
E' un disastro?
Grazie per l'aiuto e per la pazienza.
Ciao ciao!!
Risposte
Non è proprio così che si fa...
Tu hai fatto vedere che le palle di centro [tex]x = 0[/tex] e di raggio [tex]\epsilon[/tex] sono diverse nelle due metriche. Questa situazione è pressoché generale... Tuttavia, per mostrare l'equivalenza, devi dimostrare che ogni aperto della topologia standard è anche un aperto della nuova topologia, ossia che può essere scritto come unione di aperti della seconda topologia.
Ad occhio, direi che in questo caso le due metriche sono equivalenti... Hai idee su come fare?
Un hint: una parte del lavoro la hai già fatta. Se invece di calcolare l'intorno sferico di 0 calcoli direttamente quello di x, ottieni che una base del filtro degli intorni di x è formata proprio da intervalli che sono aperti anche nella topologia standard. Domande:
1) a partire da una base del filtro degli intorni di un punto, sappiamo costruire una base di aperti della topologia? Come?
2) a questo punto (cioè scritta la base della topologia), che cosa possiamo dire sulla relazione di finezza che intercorre tra questa topologia e quella standard?
3) possiamo anche dimostrare la relazione di finezza inversa?
P.S. Non farti spaventare dal linguaggio (tecnico) usato nelle domande! In realtà sono concetti semplicissimi, ma se non li hai chiari chiedi, perché sono anche fondamentali!
Tu hai fatto vedere che le palle di centro [tex]x = 0[/tex] e di raggio [tex]\epsilon[/tex] sono diverse nelle due metriche. Questa situazione è pressoché generale... Tuttavia, per mostrare l'equivalenza, devi dimostrare che ogni aperto della topologia standard è anche un aperto della nuova topologia, ossia che può essere scritto come unione di aperti della seconda topologia.
Ad occhio, direi che in questo caso le due metriche sono equivalenti... Hai idee su come fare?
Un hint: una parte del lavoro la hai già fatta. Se invece di calcolare l'intorno sferico di 0 calcoli direttamente quello di x, ottieni che una base del filtro degli intorni di x è formata proprio da intervalli che sono aperti anche nella topologia standard. Domande:
1) a partire da una base del filtro degli intorni di un punto, sappiamo costruire una base di aperti della topologia? Come?
2) a questo punto (cioè scritta la base della topologia), che cosa possiamo dire sulla relazione di finezza che intercorre tra questa topologia e quella standard?
3) possiamo anche dimostrare la relazione di finezza inversa?
P.S. Non farti spaventare dal linguaggio (tecnico) usato nelle domande! In realtà sono concetti semplicissimi, ma se non li hai chiari chiedi, perché sono anche fondamentali!
Ciao! Innanzitutto grazie per la risposta. Non ho scritto nulla ieri perchè sono stata in uni tutto il pomeriggio.
Due domande:
Quando dici topologia intendi metrica?
Mi sfuggono un po' di cose: la base del filtro degli intorni... non so cosa sia, mi spiace
Mi spiego: questi esercizi erano relativi solo a metriche e spazi metrici; di topologia e basi abbiamo parlato solo in seguito (circa 3 lezioni dopo).
Non c'è un metodo di risoluzione che non coinvolga le topologie?
Grazie ancora.
Buon pomeriggio
Due domande:
devi dimostrare che ogni aperto della topologia standard è anche un aperto della nuova topologia, ossia che può essere scritto come unione di aperti della seconda topologia.
Quando dici topologia intendi metrica?
1) a partire da una base del filtro degli intorni di un punto, sappiamo costruire una base di aperti della topologia? Come?
2) a questo punto (cioè scritta la base della topologia), che cosa possiamo dire sulla relazione di finezza che intercorre tra questa topologia e quella standard?
3) possiamo anche dimostrare la relazione di finezza inversa?
Mi sfuggono un po' di cose: la base del filtro degli intorni... non so cosa sia, mi spiace
Mi spiego: questi esercizi erano relativi solo a metriche e spazi metrici; di topologia e basi abbiamo parlato solo in seguito (circa 3 lezioni dopo).
Non c'è un metodo di risoluzione che non coinvolga le topologie?
Grazie ancora.
Buon pomeriggio
Nel mio post precedente distinguevo le due topologie. Quando parlavo di topologia standard, intendevo "topologia indotta dalla metrica standard".
Tralasciando la parola filtro, che magari non hai mai incontrato nel corso dei tuoi studi (sta diventando, mi sembra di capire, un approccio sempre più raro, quello che fa uso di questi concetti), ti basta sapere che gli intorni di un punto formano un filtro (non sto a darti la definizione, è fuori luogo).
Una base dell'insieme degli intorni di un punto è semplicemente un insieme di intorni che gode di questa proprietà: per ogni intorno U del punto, esiste un intorno V della base tale che [tex]V\subset U[/tex].
In ogni caso:
Questa domanda sembra quasi retorica. Stiamo parlando di topologie, quindi mi sembra logico che dovremo utilizzare le proprietà delle topologie, o no?
Non è che stiamo utilizzando chissà quali proprietà topologiche, semplicemente quelle di base (lo stretto necessario per concludere).
Dunque, questo tipo di esercizi può essere grosso modo affrontato in un modo "standard". Sia [tex]S[/tex] un insieme non vuoto e indichiamo con [tex]\tau_1[/tex] e [tex]\tau_2[/tex] le due topologie (topologie metriche, se preferisci).
1) prendiamo un punto [tex]x\in S[/tex] generico e prendiamo un intorno [tex]U[/tex] di [tex]x[/tex] in [tex]\tau_1[/tex] (nel caso delle topologie metriche, ti calcolerai l'intorno rotondo di un punto, proprio come avevi fatto tu prima). Ora ci chiediamo: esiste un intorno V di x nella topologia [tex]\tau_2[/tex] interamente contenuto in U? Se la risposta è sempre (cioè per ogni possibile scelta di x e di U) affermativa, allora procediamo;
2) ripetiamo il punto precedente scambiando i ruoli di [tex]\tau_1[/tex] e [tex]\tau_2[/tex].
Se la risposta è affermativa ad entrambe le domande, possiamo concludere che le topologie sono equivalenti.
Ora, sapresti applicare questo metodo al caso in esame?
Tralasciando la parola filtro, che magari non hai mai incontrato nel corso dei tuoi studi (sta diventando, mi sembra di capire, un approccio sempre più raro, quello che fa uso di questi concetti), ti basta sapere che gli intorni di un punto formano un filtro (non sto a darti la definizione, è fuori luogo).
Una base dell'insieme degli intorni di un punto è semplicemente un insieme di intorni che gode di questa proprietà: per ogni intorno U del punto, esiste un intorno V della base tale che [tex]V\subset U[/tex].
In ogni caso:
"Lewis":
Non c'è un metodo di risoluzione che non coinvolga le topologie
Questa domanda sembra quasi retorica. Stiamo parlando di topologie, quindi mi sembra logico che dovremo utilizzare le proprietà delle topologie, o no?
Non è che stiamo utilizzando chissà quali proprietà topologiche, semplicemente quelle di base (lo stretto necessario per concludere).
Dunque, questo tipo di esercizi può essere grosso modo affrontato in un modo "standard". Sia [tex]S[/tex] un insieme non vuoto e indichiamo con [tex]\tau_1[/tex] e [tex]\tau_2[/tex] le due topologie (topologie metriche, se preferisci).
1) prendiamo un punto [tex]x\in S[/tex] generico e prendiamo un intorno [tex]U[/tex] di [tex]x[/tex] in [tex]\tau_1[/tex] (nel caso delle topologie metriche, ti calcolerai l'intorno rotondo di un punto, proprio come avevi fatto tu prima). Ora ci chiediamo: esiste un intorno V di x nella topologia [tex]\tau_2[/tex] interamente contenuto in U? Se la risposta è sempre (cioè per ogni possibile scelta di x e di U) affermativa, allora procediamo;
2) ripetiamo il punto precedente scambiando i ruoli di [tex]\tau_1[/tex] e [tex]\tau_2[/tex].
Se la risposta è affermativa ad entrambe le domande, possiamo concludere che le topologie sono equivalenti.
Ora, sapresti applicare questo metodo al caso in esame?
"maurer":
Nel mio post precedente distinguevo le due topologie. Quando parlavo di topologia standard, intendevo "topologia indotta dalla metrica standard".
Tralasciando la parola filtro, che magari non hai mai incontrato nel corso dei tuoi studi (sta diventando, mi sembra di capire, un approccio sempre più raro, quello che fa uso di questi concetti), ti basta sapere che gli intorni di un punto formano un filtro (non sto a darti la definizione, è fuori luogo).
Una base dell'insieme degli intorni di un punto è semplicemente un insieme di intorni che gode di questa proprietà: per ogni intorno U del punto, esiste un intorno V della base tale che [tex]V\subset U[/tex].
In ogni caso:
[quote="Lewis"]Non c'è un metodo di risoluzione che non coinvolga le topologie
Questa domanda sembra quasi retorica. Stiamo parlando di topologie, quindi mi sembra logico che dovremo utilizzare le proprietà delle topologie, o no?
Non è che stiamo utilizzando chissà quali proprietà topologiche, semplicemente quelle di base (lo stretto necessario per concludere).
[/quote]
Ciao e, di nuovo, grazie mille per la pazienza.
Scusa se prima ti sono sembrata polemica, non era mia intenzione...Ti ho chiesto se era proprio necessario "tirare in ballo" le topologie (piuttosoto che usare semplicemente gli spazi metrici) solo perchè la prof ci ha assegnato l'esercizio prima di spiegare le topologie (avevamo fatto solo metriche e spazi metrici).
Tutto qui
Comunque, se le topologie sono necessarie al metodo standard, e sia!
Ora, veniamo all'esercizio: in effetti il termine filtro mi era nuovo, ma detto così non sembra niente di particolarmente sconvolgente
Adesso provo ad applicare il metodo e domani posto il risultato.
(Ce la metterò tutta...ma se avessi qualche problemino non mi manderai al diavolo vero?)
Grazie mille e scusa la mia ignoranza!
Buona serata
No, non ti preoccupare... Non volevo essere brusco... è solo che, se l'insegnante ti ha chiesto di dimostrare che le topologie indotte sono equivalenti (oppure di confutarlo), immagino che debba avere anche introdotto che cosa significa dire che due topologie sono equivalenti (e di fatto nel metodo che ti ho descritto prima, non si usa niente al di fuori di questa definizione). Se non vi ha detto cosa significa per due topologie essere equivalenti, mi sembra che l'esercizio sia un po' vuoto (e lasciato a libera interpretazione), non trovi?
In ogni caso, non preoccuparti... posta pure tranquillamente. Spero di essere capace di aiutarti (sai, anch'io sto studiando topologia per la prima volta)
In ogni caso, non preoccuparti... posta pure tranquillamente. Spero di essere capace di aiutarti (sai, anch'io sto studiando topologia per la prima volta
)
"maurer":
No, non ti preoccupare... Non volevo essere brusco... è solo che, se l'insegnante ti ha chiesto di dimostrare che le topologie indotte sono equivalenti (oppure di confutarlo), immagino che debba avere anche introdotto che cosa significa dire che due topologie sono equivalenti (e di fatto nel metodo che ti ho descritto prima, non si usa niente al di fuori di questa definizione).
Ma in effetti non sono le topologie ad essere equivalenti, ma le metriche.
Comunque, col metodo che mi hai suggerito a me verrebbe così:
Con la metrica euclidea gli aperti indotti su $RR$
$B_(epsilon) (x) = ( x - epsilon, x + epsilon)$
Con l'altra metrica:
$B_(epsilon) (x) = { y in X | |e^y - e^x | < epsilon } = (log (e^x - epsilon), log (e^x + epsilon))$ (se $e^x >= epsilon$, cioè $x >= log (epsilon)$)
Se invece $x
Ora devo valutare se esista un intorno della forma $(x- epsilon, x+ epsilon)$ contenuto in quello indotto da d e viceversa (valutando sia $x<= log(epsilon)$ sia $x
$\{(log(e^x - epsilon) < x-epsilon) , (log(e^x + epsilon) > x + epsilon):}$,
E dovrei ricavarne un epsilon, giusto? Ma non ci riesco!!
Ma fin qui come va?
(se ci osno stupidaggini colossali, beh mi scuso in partenza...ma ormai stasera sono cotta!!)
Grazie e buona notte
"lewis":
[...]L'esercizio successivo chiede di stabilire quali tra le metriche trovate siano topologicamente equivalenti a quella euclidea. [...]
- due metriche sono topologicamente equivalenti se inducono gli stessi aperti.[...]
Sì, sono le metriche ad essere equivalenti, ma da un punto di vista topologico! Se non ti è chiaro, prova a dare un'occhiata a questo post che ho aperto (ispirato dalla tua domanda).
In ogni caso, venendo a noi, sbagli sostanzialmente nell'imporre che l'[tex]\epsilon[/tex] debba essere uguale. Ti assicuro che quest'esercizio, da qui in poi, si fa senza conti.
Infatti, consideriamo un punto x di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Allora nella topologia della metrica esponenziale (lasciamela chiamare così), un suo intorno di raggio [tex]\epsilon[/tex] è: o [tex](\log(e^x-\epsilon),\log(e^x+\epsilon))[/tex] oppure [tex](-\infty,\log(e^x+\epsilon))[/tex] secondo la distinzione corretta fatta da te. Supponiamo di essere nel primo caso. Ci chiediamo: esiste un intorno della topologia standard (ossia della forma [tex](a,b)[/tex] per opportuni a e b) interamente contenuto in [tex](\log(e^x-\epsilon),\log(e^x+\epsilon))[/tex] tale che inoltre [tex]x\in(a,b)[/tex]? La risposta è affermativa ed è immediata! Infatti [tex](\log(e^x-\epsilon),\log(e^x+\epsilon))[/tex] è lui stesso un aperto della topologia standard con [tex]a = \log(e^x-\epsilon)[/tex] e [tex]b = \log(e^x +\epsilon)[/tex]. In modo analogo se siamo nella seconda situazione; infatti anche gli aperti della forma [tex](-\infty, a)[/tex] sono aperti della topologia standard.
Adesso, saresti in grado di rifare un ragionamento simile nel caso dell'altra implicazione?
Dunque...io ho un intervallo $(a,b)$ e devo vedere se esiste sempre un intervallo del tipo $(log(e^x - epsilon), log (e^x + epsilon))$ o $( - oo. log (e^x + epsilon))$ contenuto in $(a,b)$:
Beh, anche qui sì: perchè il codominio del logaritmo in base e è tutto $RR$, quindi un qualsiasi reale (cioè i miei a e b dell'intervallo con $d_e$) può essere scritto come log di qualcosa (nella fattispecie $a=log(e^x - epsilon)$ e $b=log(e^x + epsilon)$). Analogamente se l'intervallo con $d_e$ è del tipo $(-oo, a)$, in esso è contenuto un intervallo del tipo $(-oo, log(e^x + epsilon))$ (e sarà $ a = log(e^x + epsilon)$)
(Cavolata?)
Grazie mille
PS L'inclusione che hai spiegato tu l'ho capita (anche se magari non sembra perchè la mia è errata!)
Beh, anche qui sì: perchè il codominio del logaritmo in base e è tutto $RR$, quindi un qualsiasi reale (cioè i miei a e b dell'intervallo con $d_e$) può essere scritto come log di qualcosa (nella fattispecie $a=log(e^x - epsilon)$ e $b=log(e^x + epsilon)$). Analogamente se l'intervallo con $d_e$ è del tipo $(-oo, a)$, in esso è contenuto un intervallo del tipo $(-oo, log(e^x + epsilon))$ (e sarà $ a = log(e^x + epsilon)$)
(Cavolata?)
Grazie mille
PS L'inclusione che hai spiegato tu l'ho capita (anche se magari non sembra perchè la mia è errata!)
Ti sei dimenticata un segno di dollaro da qualche parte...
In ogni caso l'idea è giustissima, brava.
Bisognerebbe soltanto rifinire un po' la forma. Forse sono andato un po' di fretta l'altra volta, ma il discorso che stiamo facendo deve essere condotto per gli intorni. Quindi l'argomento dovrebbe essere impostato così:
1) fissiamo [tex]x \in \mathbb{R}[/tex];
2) fissiamo un intorno (ad esempio circolare) di [tex]x[/tex]: [tex](x-\epsilon,x+\epsilon)[/tex];
3) troviamo un intorno di [tex]x[/tex] nella topologia esponenziale che sia interamente contenuto in [tex](x-\epsilon,x+\epsilon)[/tex]. Cioè, la domanda che occorre porsi qui è: esiste un [tex]\delta>0[/tex] tale che [tex](\log(e^x-\delta),\log(e^x+\delta)) \subseteq (x - \epsilon, x+ \epsilon)[/tex]?
Se la risposta a questa domanda è affermativa, abbiamo finito. Forse si può concludere ad occhio con la continuità della funzione logaritmo, oppure si fanno due piccoli conti e si conclude.
P.S. Tutta questa impostazione è valida solo quando ragioniamo sulle basi di intorni. Se volessimo dimostrare l'equivalenza delle topologie mediante gli aperti, il discorso dovrebbe essere impostato in modo leggermente diverso.
In ogni caso l'idea è giustissima, brava.
Bisognerebbe soltanto rifinire un po' la forma. Forse sono andato un po' di fretta l'altra volta, ma il discorso che stiamo facendo deve essere condotto per gli intorni. Quindi l'argomento dovrebbe essere impostato così:
1) fissiamo [tex]x \in \mathbb{R}[/tex];
2) fissiamo un intorno (ad esempio circolare) di [tex]x[/tex]: [tex](x-\epsilon,x+\epsilon)[/tex];
3) troviamo un intorno di [tex]x[/tex] nella topologia esponenziale che sia interamente contenuto in [tex](x-\epsilon,x+\epsilon)[/tex]. Cioè, la domanda che occorre porsi qui è: esiste un [tex]\delta>0[/tex] tale che [tex](\log(e^x-\delta),\log(e^x+\delta)) \subseteq (x - \epsilon, x+ \epsilon)[/tex]?
Se la risposta a questa domanda è affermativa, abbiamo finito. Forse si può concludere ad occhio con la continuità della funzione logaritmo, oppure si fanno due piccoli conti e si conclude.
P.S. Tutta questa impostazione è valida solo quando ragioniamo sulle basi di intorni. Se volessimo dimostrare l'equivalenza delle topologie mediante gli aperti, il discorso dovrebbe essere impostato in modo leggermente diverso.
Credo di aver capito come fare, grazie mille.
Però ho ancora una domanda...in questo caso (e negli altri di questo esercizio) lo spazio metrico era sempre $(RR, d)$, con d di volta in volta definito.
In alcuni esercizi però X e d non sono specificati: per esempio nel seguente.
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico; definiamo la funzione $\hat d: XxxX rarr RR$ (in realtà sarebbe d tilde, ma non ho trovato il simbolo...d'altra parte non cambia granchè )
$\hat d (x,y) = min {1, d(x,y)}$
Una volta dimostrato che è una metrica (detta limitazione standard di d), stabilire se è topologicamente equivalente a d.
Come procedo in questi casi? Come posso valutare gli aperti indotti, non conoscendo come agisce la metrica d (e perciò tantomeno la sua limitazione)?
C'è un metodo simile a quello applicato nel caso di $(RR, d)$ con d nota?
Grazie di nuovo
Ciao
Però ho ancora una domanda...in questo caso (e negli altri di questo esercizio) lo spazio metrico era sempre $(RR, d)$, con d di volta in volta definito.
In alcuni esercizi però X e d non sono specificati: per esempio nel seguente.
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico; definiamo la funzione $\hat d: XxxX rarr RR$ (in realtà sarebbe d tilde, ma non ho trovato il simbolo...d'altra parte non cambia granchè
)$\hat d (x,y) = min {1, d(x,y)}$
Una volta dimostrato che è una metrica (detta limitazione standard di d), stabilire se è topologicamente equivalente a d.
Come procedo in questi casi? Come posso valutare gli aperti indotti, non conoscendo come agisce la metrica d (e perciò tantomeno la sua limitazione)?
C'è un metodo simile a quello applicato nel caso di $(RR, d)$ con d nota?
Grazie di nuovo
Ciao
Suggerimento al volo visto che maurer non sembra essere sul forum oggi. Spero di non creare confusione con le tecniche che stava usando lui, nel caso ti prego di ignorare il mio intervento e aspettare il suo.
Non ti fare spaventare dal fatto che non conosci gli aperti con nome e cognome. Ricordati che $A \subset X$ è aperto rispetto a $d$ sse per ogni $x\inA$ esiste $epsilon>0$ tale che la palla aperta $B_epsilon(x)={p\inX\ :\ d(x, p)<\epsilon}$ è contenuta in $A$. Analogamente per $hat{d}$. Ora prendi un aperto rispetto a $d$: è aperto rispetto a $hat{d}$? E un aperto rispetto a $\hat{d}$, è aperto rispetto a $d$?
Non ti fare spaventare dal fatto che non conosci gli aperti con nome e cognome. Ricordati che $A \subset X$ è aperto rispetto a $d$ sse per ogni $x\inA$ esiste $epsilon>0$ tale che la palla aperta $B_epsilon(x)={p\inX\ :\ d(x, p)<\epsilon}$ è contenuta in $A$. Analogamente per $hat{d}$. Ora prendi un aperto rispetto a $d$: è aperto rispetto a $hat{d}$? E un aperto rispetto a $\hat{d}$, è aperto rispetto a $d$?
Il suggerimento è ottimo.
dissonance lavora con gli aperti, io preferisco lavorare con gli intorni... è solo questione di gusti. A me sembra che nel caso particolare delle topologie metriche la trattazione con gli intorni sia più cristallina, tutto qui...
Ad ogni modo, hai capito la procedura standard? Ti faccio un appunto intuitivo: come si comporta a livello "grafico" la limitazione standard rispetto alla topologia iniziale? Riesci a vederlo (qui ti consiglio veramente di ragionare sugli intorni)?
Perché, ad occhio, sembrerebbe che "sufficientemente vicino" al punto, gli intorni siano molto simili (se non uguali...). Magari questo spunto grafico-intuitivo può essere trasformato in un'argomentazione rigorosa. Che ne dici, riesci a farlo?
dissonance lavora con gli aperti, io preferisco lavorare con gli intorni... è solo questione di gusti. A me sembra che nel caso particolare delle topologie metriche la trattazione con gli intorni sia più cristallina, tutto qui...
Ad ogni modo, hai capito la procedura standard? Ti faccio un appunto intuitivo: come si comporta a livello "grafico" la limitazione standard rispetto alla topologia iniziale? Riesci a vederlo (qui ti consiglio veramente di ragionare sugli intorni)?
Perché, ad occhio, sembrerebbe che "sufficientemente vicino" al punto, gli intorni siano molto simili (se non uguali...). Magari questo spunto grafico-intuitivo può essere trasformato in un'argomentazione rigorosa. Che ne dici, riesci a farlo?
Ciao.
Innanzitutto ringrazio entrambi per le risposte; avrei intenzione di capire entrambi i metodi.
Il mio problema credo stia nel fatto che non riesco a intuire come sia fatto l'aperto indotto da $hat d$ (nè in $RR$ nè tantomeno in un qualsiasi X)
Se io prendo la bolla aperta indotta da $hat d$: $B_epsilon (x) = {y in X : hat d (x,y) < epsilon} = {y in X : min {1, d(x,y)} < epsilon}$ la sua "forma" non diopende da $epsilon$?
Magari dico una sciocchezza, ma a me pare che se considero $epsilon <1$ la bolla aperta indotta da d e quella indotta da $hat d$ sono la medesima; cambia invece se $epsilon >1$, perchè in quel caso, se anche $d(x,y) > epsilon$, comunque $y in X$ in quanto $1 < epsilon$ (perchè avrei $1
Mmmmh...mi sa che ci deve essere un errore da qualche parte ma non capisco dove...scusatemi, mi sa che sono un po' lenta...
Buona domenica
Innanzitutto ringrazio entrambi per le risposte; avrei intenzione di capire entrambi i metodi.
Il mio problema credo stia nel fatto che non riesco a intuire come sia fatto l'aperto indotto da $hat d$ (nè in $RR$ nè tantomeno in un qualsiasi X)
Se io prendo la bolla aperta indotta da $hat d$: $B_epsilon (x) = {y in X : hat d (x,y) < epsilon} = {y in X : min {1, d(x,y)} < epsilon}$ la sua "forma" non diopende da $epsilon$?
Magari dico una sciocchezza, ma a me pare che se considero $epsilon <1$ la bolla aperta indotta da d e quella indotta da $hat d$ sono la medesima; cambia invece se $epsilon >1$, perchè in quel caso, se anche $d(x,y) > epsilon$, comunque $y in X$ in quanto $1 < epsilon$ (perchè avrei $1
Mmmmh...mi sa che ci deve essere un errore da qualche parte ma non capisco dove...scusatemi, mi sa che sono un po' lenta...
Buona domenica
No, no invece hai capito bene.
La limitazione standard (quale nome più azzeccato potevano dare?) fa proprio quello che dici tu: conserva gli intorni della topologia nelle vicinanze del punto, ma li stravolge a distanza. Tuttavia, localmente gli intorni sono gli stessi e tanto basta. Infatti, partendo dagli intorni, si dice che un insieme è aperto se per ogni suo punto esiste un intorno del punto interamente contenuto nell'insieme. Come puoi facilmente notare, un insieme che sia aperto nella topologia della limitazione standard è aperto anche nella topologia indotta dalla metrica iniziale e vale anche il viceversa. Quindi gli aperti sono gli stessi e, di conseguenza le topologie sono identiche.
Analogamente, ragionando per basi di intorni: fissato un punto ed un intorno nella topologia iniziale, esiste un intorno nella topologia della limitazione standard in esso contenuto e viceversa. Segue che gli intorni di un punto sono equivalenti e pertanto la topologia è la stessa.
Per fissare le idee, potresti provare a mettere i numeri (ossia gli [tex]\epsilon[/tex]) nel mio discorso generale...
La limitazione standard (quale nome più azzeccato potevano dare?) fa proprio quello che dici tu: conserva gli intorni della topologia nelle vicinanze del punto, ma li stravolge a distanza. Tuttavia, localmente gli intorni sono gli stessi e tanto basta. Infatti, partendo dagli intorni, si dice che un insieme è aperto se per ogni suo punto esiste un intorno del punto interamente contenuto nell'insieme. Come puoi facilmente notare, un insieme che sia aperto nella topologia della limitazione standard è aperto anche nella topologia indotta dalla metrica iniziale e vale anche il viceversa. Quindi gli aperti sono gli stessi e, di conseguenza le topologie sono identiche.
Analogamente, ragionando per basi di intorni: fissato un punto ed un intorno nella topologia iniziale, esiste un intorno nella topologia della limitazione standard in esso contenuto e viceversa. Segue che gli intorni di un punto sono equivalenti e pertanto la topologia è la stessa.
Per fissare le idee, potresti provare a mettere i numeri (ossia gli [tex]\epsilon[/tex]) nel mio discorso generale...
Non sei lenta, ci sei arrivata. E' giusto il discorso che fai di distinguere $epsilon<1$ e $epsilon>1$. Visualizzatelo in $RR^2$ prendendo come $d$ la distanza solita. Le bolle rispetto a $d$ sono dei cerchi pieni senza bordo. Pensiamo a cerchi di centro l'origine tanto per semplificare.
Quando $epsilon<1$, la bolla aperta di raggio $epsilon$ rispetto a $d$ e l'analoga bolla rispetto a $hat{d}$ sono uguali. Chiaro. Infatti si prova subito la doppia inclusione: se un punto è distante da $0$ meno di $epsilon$ allora anche il minimo tra questa distanza e $1$ è più piccolo di $epsilon$ (perché $epsilon$ è più piccolo di $1$). Quindi $B_epsilon \subset hat{B}_epsilon$. E chiaramente vale l'inclusione opposta: se $"min" (d(x, 0), 1)epsilon$ necessariamente deve essere $d(x, 0)
Quando $epsilon=1$, ancora le due bolle sono coincidenti. Stesso discorso di sopra.
Quando $epsilon>1$ succede un fatto curioso. La bolla rispetto a $hat{d}$ copre tutto il piano! Questo perché la condizione $min(1, d(x, 0))
[edit]Scrivevo contemporaneamente a maurer.
Quando $epsilon<1$, la bolla aperta di raggio $epsilon$ rispetto a $d$ e l'analoga bolla rispetto a $hat{d}$ sono uguali. Chiaro. Infatti si prova subito la doppia inclusione: se un punto è distante da $0$ meno di $epsilon$ allora anche il minimo tra questa distanza e $1$ è più piccolo di $epsilon$ (perché $epsilon$ è più piccolo di $1$). Quindi $B_epsilon \subset hat{B}_epsilon$. E chiaramente vale l'inclusione opposta: se $"min" (d(x, 0), 1)
Quando $epsilon=1$, ancora le due bolle sono coincidenti. Stesso discorso di sopra.
Quando $epsilon>1$ succede un fatto curioso. La bolla rispetto a $hat{d}$ copre tutto il piano! Questo perché la condizione $min(1, d(x, 0))
[edit]Scrivevo contemporaneamente a maurer.
Ciao!
Come hai suggerito tu, maurer, ho cercato di riscriverlo in modo un po' più formale, sembra venuto bene.
Beh, non posso che ringraziarvi dell'aiuto che mi avete dato.
Ora cercherò di continuare con gli esercizi (ne ho pagine e pagine a disposizione, ci sarà pure qualcosa che so fare!
)
Ecco, se dovessi avere qualche problemino...non è che mi mandate al diavolo vero??
Grazie ancora per l'aiuto e buona giornata.
Come hai suggerito tu, maurer, ho cercato di riscriverlo in modo un po' più formale, sembra venuto bene.
Beh, non posso che ringraziarvi dell'aiuto che mi avete dato.
Ora cercherò di continuare con gli esercizi (ne ho pagine e pagine a disposizione, ci sarà pure qualcosa che so fare!
)Ecco, se dovessi avere qualche problemino...non è che mi mandate al diavolo vero??
Grazie ancora per l'aiuto e buona giornata.
Sono contento che ti sia venuto... l'importante, però, è che tu abbia capito bene il metodo che ci sta sotto...
Per ogni altro dubbio, non esitare a chiedere... spero di essere in grado di aiutarti, perché anch'io sto studiando per la prima volta topologia Altrimenti ci sarà qualcuno che chiarirà i nostri dubbi, no?
Buona giornata anche a te!
Per ogni altro dubbio, non esitare a chiedere... spero di essere in grado di aiutarti, perché anch'io sto studiando per la prima volta topologia
Altrimenti ci sarà qualcuno che chiarirà i nostri dubbi, no?Buona giornata anche a te!
"maurer":
anch'io sto studiando per la prima volta topologia
Beh non si direbbe...sembri piuttosto esperto in materia...complimenti! Anche tu al primo anno di matematica?
(Mi scuso per l'off-topic)
Secondo anno... qui a Torino non è prevista al primo... Tu invece dove studi?
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