Metriche equivalenti (ma non troppo)
Questa domanda mi ha fatto pensare...
Propongo dunque un piccolo problemino, per chi non sapesse come impiegare meglio il proprio tempo....
Posto [tex]d_{\exp}(x,y) = |e^x-e^y|[/tex], mostrare che [tex](\mathbb{R},d_{\exp})[/tex] non è completo.
A me, poi, sembra che induca la stessa topologia standard. Potrei sbagliarmi, dato che non ho fatto tutti i conti per benino... di sicuro la topologia standard è più fine della topologia indotta da questa metrica.
Se questo fosse vero, avremmo un bell'esempio di metriche non equivalenti (nel senso che non esistono costanti [tex]a,b\in\mathbb{R}^+[/tex] tali che [tex]a d_1(x,y) \leq d_2(x,y) \leq b d_1(x,y)\quad \forall x,y\in\mathbb{R}[/tex]) che inducono la stessa topologia. Infatti, se due metriche sono equivalenti nel senso indicato prima, allora le successioni di Cauchy sono le stesse.
Propongo dunque un piccolo problemino, per chi non sapesse come impiegare meglio il proprio tempo....
Posto [tex]d_{\exp}(x,y) = |e^x-e^y|[/tex], mostrare che [tex](\mathbb{R},d_{\exp})[/tex] non è completo.
A me, poi, sembra che induca la stessa topologia standard. Potrei sbagliarmi, dato che non ho fatto tutti i conti per benino... di sicuro la topologia standard è più fine della topologia indotta da questa metrica.
Se questo fosse vero, avremmo un bell'esempio di metriche non equivalenti (nel senso che non esistono costanti [tex]a,b\in\mathbb{R}^+[/tex] tali che [tex]a d_1(x,y) \leq d_2(x,y) \leq b d_1(x,y)\quad \forall x,y\in\mathbb{R}[/tex]) che inducono la stessa topologia. Infatti, se due metriche sono equivalenti nel senso indicato prima, allora le successioni di Cauchy sono le stesse.
Risposte
Si parla di questo fenomeno (metriche non equivalenti che però inducono la stessa topologia) nella dispensa di analisi funzionale di Gilardi:
http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... nz0910.pdf
pag.172 (numerazione del file), Osservazione 2.19. L'esempio è un po' diverso dal tuo ma sostanzialmente equivalente. Si parla di spazi vettoriali topologici, ovvero spazi vettoriali equipaggiati con una topologia rispetto alla quale le operazioni di somma e prodotto per uno scalare sono continue.
http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... nz0910.pdf
pag.172 (numerazione del file), Osservazione 2.19. L'esempio è un po' diverso dal tuo ma sostanzialmente equivalente. Si parla di spazi vettoriali topologici, ovvero spazi vettoriali equipaggiati con una topologia rispetto alla quale le operazioni di somma e prodotto per uno scalare sono continue.
Molto bello!
Specialmente l'osservazione sull'invarianza per traslazione, su cui non avevo riflettuto...
Analisi funzionale, eh? Temo che dovrò aspettare ancora un bel po' prima di studiarla...
Specialmente l'osservazione sull'invarianza per traslazione, su cui non avevo riflettuto...
Analisi funzionale, eh? Temo che dovrò aspettare ancora un bel po' prima di studiarla...
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