Metrica Poincaré e Klein-Beltrami
Ciao a tutti! Per costruire il disco di Poincaré a partire dal modello di Klein-Beltrami di piano iperbolico, Geometria intuitiva di Hilbert e Cohn-Vossen utilizza una proiezione parallela verticalmente dal disco $B^2$, usato per rappresentare il modello di Klein-Beltrami, sulla semisfera di raggio $r$ tangente al disco nel punto $S$ e quindi riproietta la proiezione di $B^2$ stereograficamente dal punto antipodale $N$ sul piano su cui giace il disco utilizzato come modello di Klein-Beltrami per ottenere $D^2$, con cui descrivere il disco di Poincaré.
Descritta tale costruzione il testo dice che se dunque \(A',B',R',S'\) sono quei punti del modello iniziale [di Klein-Beltrami; \(R'\) ed \(S'\) sono gli estremi della corda che contiene \(A'\) e \(B'\)] che dànno origine, mediante la costruzione descritta prima, ad $A,B,R$ ed $S$, si può dimostrare, con l'aiuto di alcuni teoremi della geometria proiettiva, la validità della seguente relazione\[\frac{AR\cdot BS}{BR\cdot AS}=\sqrt{\frac{A'R'\cdot B'S'}{B'R'\cdot A'S'}}\]Ora, so che il birapporto \(\frac{A'R'\cdot B'S'}{B'R'\cdot A'S'}\) si utilizza per calcolare le distanze nel modello di Klein-Beltrami dove \(d(A',B')=\frac{c}{2}|\ln\frac{A'R'\cdot B'S'}{B'R'\cdot A'S'}|\), ma ciò non mi permette di capirci granché. Non mi è chiaro che cosa siano \(AR,BS,BR,AS\): distanze euclidee rettilinee (tra punti di $D^2$ che, presi tutti insieme, direi che sono vertici di una poligonale, invece di stare su una corda come le controimmagini contenute in $B^2$), lunghezze euclidee degli archi di circonferenza immagini di \(A'R',B'S',B'R',A'S'\) attraverso la proiezione sulla sfera composta con la riproiezione sul piano?
Mi sembra proprio che, ponendo in $S$ l'origine di un riferimento cartesiano del piano, l'immagine attraverso la composizione di proiezioni del punto \(\mathbf{x}\in B^2\) sia \(\frac{2r}{2r-\sqrt{r^2-\|\mathbf{x}\|^2}}\mathbf{x}\in D^2\), ma con tanti calcoli per dimostrare che \(\frac{\|\overrightarrow{AR}\|\|\overrightarrow{BS}\|}{\|\overrightarrow{BR}\|\|\overrightarrow{AS}\|}=\sqrt{\frac{\|\overrightarrow{A'R'}\|\|\overrightarrow{B'S'}\|}{\|\overrightarrow{B'R'}\|\|\overrightarrow{A'S'}\|}}\) non ho concluso nulla...
Usare la geometria proiettiva come dice il testo, non saprei come farlo perché sono molto ignorante in merito e più di constatare che si tratta di birapporti non saprei fare...
Qualcuno ne sa di più?
$\infty$ grazie!!!!!
Descritta tale costruzione il testo dice che se dunque \(A',B',R',S'\) sono quei punti del modello iniziale [di Klein-Beltrami; \(R'\) ed \(S'\) sono gli estremi della corda che contiene \(A'\) e \(B'\)] che dànno origine, mediante la costruzione descritta prima, ad $A,B,R$ ed $S$, si può dimostrare, con l'aiuto di alcuni teoremi della geometria proiettiva, la validità della seguente relazione\[\frac{AR\cdot BS}{BR\cdot AS}=\sqrt{\frac{A'R'\cdot B'S'}{B'R'\cdot A'S'}}\]Ora, so che il birapporto \(\frac{A'R'\cdot B'S'}{B'R'\cdot A'S'}\) si utilizza per calcolare le distanze nel modello di Klein-Beltrami dove \(d(A',B')=\frac{c}{2}|\ln\frac{A'R'\cdot B'S'}{B'R'\cdot A'S'}|\), ma ciò non mi permette di capirci granché. Non mi è chiaro che cosa siano \(AR,BS,BR,AS\): distanze euclidee rettilinee (tra punti di $D^2$ che, presi tutti insieme, direi che sono vertici di una poligonale, invece di stare su una corda come le controimmagini contenute in $B^2$), lunghezze euclidee degli archi di circonferenza immagini di \(A'R',B'S',B'R',A'S'\) attraverso la proiezione sulla sfera composta con la riproiezione sul piano?
Mi sembra proprio che, ponendo in $S$ l'origine di un riferimento cartesiano del piano, l'immagine attraverso la composizione di proiezioni del punto \(\mathbf{x}\in B^2\) sia \(\frac{2r}{2r-\sqrt{r^2-\|\mathbf{x}\|^2}}\mathbf{x}\in D^2\), ma con tanti calcoli per dimostrare che \(\frac{\|\overrightarrow{AR}\|\|\overrightarrow{BS}\|}{\|\overrightarrow{BR}\|\|\overrightarrow{AS}\|}=\sqrt{\frac{\|\overrightarrow{A'R'}\|\|\overrightarrow{B'S'}\|}{\|\overrightarrow{B'R'}\|\|\overrightarrow{A'S'}\|}}\) non ho concluso nulla...
Usare la geometria proiettiva come dice il testo, non saprei come farlo perché sono molto ignorante in merito e più di constatare che si tratta di birapporti non saprei fare...
Qualcuno ne sa di più?
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