Metrica di una superficie
Salve a tutti.
Ho il seguente problema: determinare la metrica sul paraboloide di equazione $z = x^2 + y^2.
Ho pensato di ragionare così: fissata una quota $z$, la sezione corrispondente è una circonferenza di raggio $r=sqrt(z)$; a raggio fissato, uno spostamento
lungo tale circonferenza è individuato da un angolo $phi$.
E' quindi naturale scegliere come coordinate (ortogonali) la coppia ($phi$,$R$).
Il modulo quadro $ds^2$ di uno spostamento infinitesimo sulla superficie si può scrivere come $ds^2 = du^2 + dv^2$, ovvero come la somma di due
contributi, uno dovuto ad una variazione di $phi$ con $r$ bloccato, e l'altro dovuto alla variazione di $r$ con $phi$ bloccato.
Fissato $r$, lo spostamento lungo la circonferenza è semplicemente $du = r dphi$.
Quando invece è fissato $phi$, il punto in cui mi trovo è individuato dall'altezza $r^2$ e dal raggio $r$ (l'altezza è $r^2$ perchè $r = sqrt(z)$).
Spostandomi di una quantità infinitesima ho una variazione $2 r dr$ della quota e una variazione $dr$ del raggio.
Siccome lo spostamento è molto piccolo, il tratto di parabola che attraverso (in verticale) è praticamente rettilineo, quindi posso applicare il teorema di
pitagora: $dv^2 = dr^2 + 4 r^2 dr^2 = dr^2 (1 + 4 r^2)$ .
Ho in definitiva che $ds^2 = r^2 dphi^2 + (1 + 4 r^2) dr^2$.
Ho un grande dubbio: perchè "dimensionalmente" l'equazione non torna? Sono io che interpreto male la cosa o davvero c'è qualche errore?
Grazie per l'aiuto.
Ho il seguente problema: determinare la metrica sul paraboloide di equazione $z = x^2 + y^2.
Ho pensato di ragionare così: fissata una quota $z$, la sezione corrispondente è una circonferenza di raggio $r=sqrt(z)$; a raggio fissato, uno spostamento
lungo tale circonferenza è individuato da un angolo $phi$.
E' quindi naturale scegliere come coordinate (ortogonali) la coppia ($phi$,$R$).
Il modulo quadro $ds^2$ di uno spostamento infinitesimo sulla superficie si può scrivere come $ds^2 = du^2 + dv^2$, ovvero come la somma di due
contributi, uno dovuto ad una variazione di $phi$ con $r$ bloccato, e l'altro dovuto alla variazione di $r$ con $phi$ bloccato.
Fissato $r$, lo spostamento lungo la circonferenza è semplicemente $du = r dphi$.
Quando invece è fissato $phi$, il punto in cui mi trovo è individuato dall'altezza $r^2$ e dal raggio $r$ (l'altezza è $r^2$ perchè $r = sqrt(z)$).
Spostandomi di una quantità infinitesima ho una variazione $2 r dr$ della quota e una variazione $dr$ del raggio.
Siccome lo spostamento è molto piccolo, il tratto di parabola che attraverso (in verticale) è praticamente rettilineo, quindi posso applicare il teorema di
pitagora: $dv^2 = dr^2 + 4 r^2 dr^2 = dr^2 (1 + 4 r^2)$ .
Ho in definitiva che $ds^2 = r^2 dphi^2 + (1 + 4 r^2) dr^2$.
Ho un grande dubbio: perchè "dimensionalmente" l'equazione non torna? Sono io che interpreto male la cosa o davvero c'è qualche errore?
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Introducendo le coordinate da te indicate, la metrica indotta sulla tua superficie dalla metrica euclidea di $RR^3$ avrebbe la forma, facendo qualche calcolo
$x = r cos phi$
$y= r sin phi$
$z = r^2$
$g_{rr} = < \partial /(\partial r), \partial /(\partial r) > = cos^2 phi + sin^2 phi + (2r)^2 = 1 + 4r^2$
$g_{r \phi} = g_{\phi r} = < \partial /(\partial \phi), \partial /(\partial r) > = - r sin phi cos phi + r cos phi sin phi + 0*(2r) = 0$
$g_{phi phi} = < \partial /(\partial \phi), \partial /(\partial phi) > = r^2$
Quindi $ds^2 = (1 + 4r^2) dr^2 + r^2 d phi^2$, come da te ottenuto.
Il tuo ragionamento quindi non fa una grinza (ed è anche molto carino, anche se un po' meno formale). Credo che sia tu ad intepretare male l'equazione ottenuta. Perché dimensionalmente non ti andrebbe bene?
$x = r cos phi$
$y= r sin phi$
$z = r^2$
$g_{rr} = < \partial /(\partial r), \partial /(\partial r) > = cos^2 phi + sin^2 phi + (2r)^2 = 1 + 4r^2$
$g_{r \phi} = g_{\phi r} = < \partial /(\partial \phi), \partial /(\partial r) > = - r sin phi cos phi + r cos phi sin phi + 0*(2r) = 0$
$g_{phi phi} = < \partial /(\partial \phi), \partial /(\partial phi) > = r^2$
Quindi $ds^2 = (1 + 4r^2) dr^2 + r^2 d phi^2$, come da te ottenuto.
Il tuo ragionamento quindi non fa una grinza (ed è anche molto carino, anche se un po' meno formale). Credo che sia tu ad intepretare male l'equazione ottenuta. Perché dimensionalmente non ti andrebbe bene?
"VINX89":
Salve a tutti.
Ho il seguente problema: determinare la metrica sul paraboloide di equazione $z = x^2 + y^2.
......
Ho un grande dubbio: perchè "dimensionalmente" l'equazione non torna? Sono io che interpreto male la cosa o davvero c'è qualche errore?
Grazie per l'aiuto.
Credo che la questione posta da VINX89 riguardi le dimensioni 'fisiche' delle quantità ottenute, un problema che si evidenzia, per esempio, se si considerano le coordinate $x$, $y$ e $z$ dimensionalmente come lunghezze.
Da questo punto di vista, l'incongruenza è già nelle premesse:
$z = x^2 + y^2$
questa relazione, che è scorretta dimensionalmente, dovrebbe essere sostituita per esempio dalla seguente:
$z = a(x^2 + y^2)$
in cui $a$ è una quantità che può essere numericamente unitaria (in unità di misura fissate) ma è dimensionata $[a]=[x]^-1$ (se la legge non è geometrica, in generale sarà: $[a]=[z][x]^-2$) . Partendo da una espressione del paraboloide dimensionalmente corretta torna tutto con qualche potenza di $a$ nel risultato.
Effettivamente i matematici, anche autorevoli e anche nei testi, in genere ignorano questi 'dettagli' .... da fisici ....
Grazie mille per le risposte.
In effetti, per le dimensioni avevo esattamente le stesse perplessità di mircoFN: io, da studente di fisica quale sono, interpreto le coordinate cartesiane come lunghezze....
Per quanto riguarda la mia dimostrazione...bè, anche questa è da fisico: c'è, infatti, il vizio di fondo di considerare il differenziale come una lunghezza infinitesima, cosa che a quanto pare fa rabbrividire i matematici più intransigenti (si cerchino le feroci discussioni sul metodo "urang-utang" per la risoluzione di equazioni differenziali...).
Sono sincero: al tensore metrico non ci avevo nemmeno pensato...
In effetti, per le dimensioni avevo esattamente le stesse perplessità di mircoFN: io, da studente di fisica quale sono, interpreto le coordinate cartesiane come lunghezze....
Per quanto riguarda la mia dimostrazione...bè, anche questa è da fisico: c'è, infatti, il vizio di fondo di considerare il differenziale come una lunghezza infinitesima, cosa che a quanto pare fa rabbrividire i matematici più intransigenti (si cerchino le feroci discussioni sul metodo "urang-utang" per la risoluzione di equazioni differenziali...).
Sono sincero: al tensore metrico non ci avevo nemmeno pensato...
"mircoFN":
Effettivamente i matematici, anche autorevoli e anche nei testi, in genere ignorano questi 'dettagli' .... da fisici ....
Come non quotarti
Effettivamente non capivo nemmeno dove stava tutto questo problema
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