Metodo veloce per trovare gli autovalori
Ciao a tutti! Vi chiedo cortesemente di aiutarmi a capire come qui sono stati trovati gli autovalori.
\begin{pmatrix}
0.15 & 0 & 0 & 0 \\
0.55 & 0.25 & 0 & 1 \\
0 & 0.75 & 0.3 & 0 \\
0.2 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
A quanto pare il principio si basa sulle sottomatrici triangolari che si possono costruire, in questo modo dando come autovalori quelli che si trovano sulle loro diagonali. Ma qui non si può scomporre la matrice in una catena di sottomatrici triangolari sulla diagonale principale? O per lo meno sembra che non si possa dato che ci sono i valori sui bordi come $1$ e $0.2$.
Però dalla risposta sembra che ciò sia possibile ma non riesco a capire da com'è stato spiegato:
Partizionando la matrice $F$ in 4 blocchi (il primo, $F_11$, sulla diagonale $1\times 1$, il secondo, $F_22$, sulla diagonale
$3\times 3$), $F$ è triangolare a blocchi, quindi gli autovalori sono quelli di $F_11$ e quelli di $F_22$. Ma $F_22$ partiziona a
sua volta con struttura triangolare a blocchi scegliendo $2 \times 2$ e $1 \times 1$ come dimensioni dei blocchi diagonali,
ed il blocco $2 \times 2$ è triangolare inferiore, per cui in de finitiva gli autovalori si leggono sulla diagonale e sono
$0; 0.15; 0.25; 0.3$, tutti con modulo minore di $1$, da cui la stabilità asintotica.
Forse lo può fare perché ci sono tanti zeri? Qualcuno mi può aiutare per favore?
\begin{pmatrix}
0.15 & 0 & 0 & 0 \\
0.55 & 0.25 & 0 & 1 \\
0 & 0.75 & 0.3 & 0 \\
0.2 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
A quanto pare il principio si basa sulle sottomatrici triangolari che si possono costruire, in questo modo dando come autovalori quelli che si trovano sulle loro diagonali. Ma qui non si può scomporre la matrice in una catena di sottomatrici triangolari sulla diagonale principale? O per lo meno sembra che non si possa dato che ci sono i valori sui bordi come $1$ e $0.2$.
Però dalla risposta sembra che ciò sia possibile ma non riesco a capire da com'è stato spiegato:
Partizionando la matrice $F$ in 4 blocchi (il primo, $F_11$, sulla diagonale $1\times 1$, il secondo, $F_22$, sulla diagonale
$3\times 3$), $F$ è triangolare a blocchi, quindi gli autovalori sono quelli di $F_11$ e quelli di $F_22$. Ma $F_22$ partiziona a
sua volta con struttura triangolare a blocchi scegliendo $2 \times 2$ e $1 \times 1$ come dimensioni dei blocchi diagonali,
ed il blocco $2 \times 2$ è triangolare inferiore, per cui in de finitiva gli autovalori si leggono sulla diagonale e sono
$0; 0.15; 0.25; 0.3$, tutti con modulo minore di $1$, da cui la stabilità asintotica.
Forse lo può fare perché ci sono tanti zeri? Qualcuno mi può aiutare per favore?
Risposte
Ci ho pensato un po', ti scrivo come la vedo io.
Intanto riscriviamo
\[
F=\begin{bmatrix} \ast & 0&0&0 \\ \ast & \ast& 0 & \ast \\ 0 & \ast & \ast & 0 \\ \ast & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\]
perché i valori numerici non sono importanti. Il nostro obiettivo è dimostrare che gli autovalori di \(F\) sono le entrate diagonali. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico
\[
P(\lambda) = \det(F-\lambda I_{44}),\]
(uso i pedici per indicare la dimensione delle matrici: \(I_{44}=\) matrice identica 4 righe e 4 colonne). Siccome \(F\) ha la struttura a blocchi che dicono gli appunti, ovvero
\[
F=\begin{bmatrix} f_{11} & \boldsymbol 0^T_3 \\ \boldsymbol v_3 & F_{33}\end{bmatrix} \]
(uso i pedici per indicare la dimensione dei vettori colonna: \(\boldsymbol v_3=\begin{bmatrix} \ast \\ \ast \\ \ast\end{bmatrix}\)),
sviluppando secondo la prima riga
\[
P(\lambda) = (f_{11}-\lambda)\det(F_{33}-\lambda I_{33}).\]
E quindi \(f_{11}\) è un autovalore e gli altri autovalori sono quelli di \(F_{33}\).
Adesso consideriamo \(F_{33}\):
\[
F_{33}=\begin{bmatrix} \ast& 0 & \ast \\ \ast & \ast & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\]
e qui calcoliamo il polinomio caratteristico sfruttando la struttura a blocchi
\[
F_{33}-\lambda I_{33}=\begin{bmatrix} G_{22} -\lambda I_{22} &\boldsymbol v_2 \\ \boldsymbol 0_2^T & \ast \end{bmatrix}.\]
E adesso tocca rifare lo stesso discorso sviluppando rispetto all'ultima riga.
Questi partizionamenti a blocchi possono fare confondere ma alla fin fine gli strumenti che si usano veramente sono solo due: gli sviluppi di Laplace per calcolare i determinanti e il metodo di eliminazione di Gauss per risolvere i sistemi. Se qualcuno se ne esce con qualche cosa avanzata e apparentemente incomprensibile (come nei tuoi appunti), sicuramente è solo una maniera di scrivere che si riferisce a questi due strumenti.
Intanto riscriviamo
\[
F=\begin{bmatrix} \ast & 0&0&0 \\ \ast & \ast& 0 & \ast \\ 0 & \ast & \ast & 0 \\ \ast & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\]
perché i valori numerici non sono importanti. Il nostro obiettivo è dimostrare che gli autovalori di \(F\) sono le entrate diagonali. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico
\[
P(\lambda) = \det(F-\lambda I_{44}),\]
(uso i pedici per indicare la dimensione delle matrici: \(I_{44}=\) matrice identica 4 righe e 4 colonne). Siccome \(F\) ha la struttura a blocchi che dicono gli appunti, ovvero
\[
F=\begin{bmatrix} f_{11} & \boldsymbol 0^T_3 \\ \boldsymbol v_3 & F_{33}\end{bmatrix} \]
(uso i pedici per indicare la dimensione dei vettori colonna: \(\boldsymbol v_3=\begin{bmatrix} \ast \\ \ast \\ \ast\end{bmatrix}\)),
sviluppando secondo la prima riga
\[
P(\lambda) = (f_{11}-\lambda)\det(F_{33}-\lambda I_{33}).\]
E quindi \(f_{11}\) è un autovalore e gli altri autovalori sono quelli di \(F_{33}\).
Adesso consideriamo \(F_{33}\):
\[
F_{33}=\begin{bmatrix} \ast& 0 & \ast \\ \ast & \ast & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\]
e qui calcoliamo il polinomio caratteristico sfruttando la struttura a blocchi
\[
F_{33}-\lambda I_{33}=\begin{bmatrix} G_{22} -\lambda I_{22} &\boldsymbol v_2 \\ \boldsymbol 0_2^T & \ast \end{bmatrix}.\]
E adesso tocca rifare lo stesso discorso sviluppando rispetto all'ultima riga.
Questi partizionamenti a blocchi possono fare confondere ma alla fin fine gli strumenti che si usano veramente sono solo due: gli sviluppi di Laplace per calcolare i determinanti e il metodo di eliminazione di Gauss per risolvere i sistemi. Se qualcuno se ne esce con qualche cosa avanzata e apparentemente incomprensibile (come nei tuoi appunti), sicuramente è solo una maniera di scrivere che si riferisce a questi due strumenti.
sei stato chiaro grazie mille! 
Si potrebbe concludere che ciò funziona più che altro quando abbiamo tanti zeri vicini che costituiscono questi sottoblocchi nulli semplificando il calcolo dei determinanti...
Si potrebbe concludere che ciò funziona più che altro quando abbiamo tanti zeri vicini che costituiscono questi sottoblocchi nulli semplificando il calcolo dei determinanti...
Certamente, questi sono tutti trucchi per matrici sparse, ovvero con pochi elementi non nulli.
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