Metodo "veloce" per trovare gli autovalori e autov
Salve a tutti, so che per calcolare gli autovalori di una matrice bisogna trovare le soluzioni dell'equazione:
$det(lambda*I-A)=0$
Dove $lambda$ sono gli autovalori mentre A è la matrice in questione ovviamente...
A volte però calcolare il determinante può essere lungo, o si possono fare degli errori di calcolo stupidi (almeno per quanto mi riguarda); mi ricordo però che a lezione la prof utilizzava un metodo più veloce, in quanto scriveva direttamente il polinomio caratteristico, non mi ricordo però come si faccia a ricavarlo, era una cosa del tipo:
$lambda^n(...)+lambda^(n-1)(...)+...+lambda^0(...)=0$
Dove n è l'ordine della matrice, i puntini stanno a significare che i coefficenti dei vari termini non mi ricordo come si trovano
Stessa domanda per gli autovettori, l'unico modo per calcolarli è quello che conosco io? Ovvero:
$[lambda_(k)I-A]v_k=0$
Anche qui, non c'è un sistema diverso? (Lo chiedo lo stesso, anche se dubito)
Vi ringrazio per le risposte, so che probabilmente sono domande semplici, ma la mia prof di algebra è veramente incomprensibile durante le spiegazioni (meno male che c'è l'esercitatore che qualcosa fa capire).
$det(lambda*I-A)=0$
Dove $lambda$ sono gli autovalori mentre A è la matrice in questione ovviamente...
A volte però calcolare il determinante può essere lungo, o si possono fare degli errori di calcolo stupidi (almeno per quanto mi riguarda); mi ricordo però che a lezione la prof utilizzava un metodo più veloce, in quanto scriveva direttamente il polinomio caratteristico, non mi ricordo però come si faccia a ricavarlo, era una cosa del tipo:
$lambda^n(...)+lambda^(n-1)(...)+...+lambda^0(...)=0$
Dove n è l'ordine della matrice, i puntini stanno a significare che i coefficenti dei vari termini non mi ricordo come si trovano
Stessa domanda per gli autovettori, l'unico modo per calcolarli è quello che conosco io? Ovvero:
$[lambda_(k)I-A]v_k=0$
Anche qui, non c'è un sistema diverso? (Lo chiedo lo stesso, anche se dubito)
Vi ringrazio per le risposte, so che probabilmente sono domande semplici, ma la mia prof di algebra è veramente incomprensibile durante le spiegazioni (meno male che c'è l'esercitatore che qualcosa fa capire
).
Risposte
Io per trovare gli autovalori faccio sempre il determinante del polinomio caratteristico, inoltre credo di aver capito a cosa ti riferisci
si tratta del polinomio caratterestico dell'endomorfismo e alla fine di quel polinomio li, dovrebbe starci anche il determinante della matrice data.
si tratta del polinomio caratterestico dell'endomorfismo e alla fine di quel polinomio li, dovrebbe starci anche il determinante della matrice data.
Sicuro? A me non pareva ci fosse, mi pare rientrassero robe tipo la traccia della matrice...
Si wolf, c'è pure la traccia. ma non ricordo nemmeno io come si faceva....c'era la somma dei minori principali di ordine 1
Insomma, è più un casino ricordarsela che farla, mi sa che faccio prima ad usare il determinante
Concordo Wolf90, ma se all'esame ci viene chiesto questa maniera 'classica'?
Aspettiamo i piu bravi
Aspettiamo i piu bravi
Sia $A$ matrice $n \times n$ a coefficienti in un campo $K$.
Si definisce polinomio caratteristico il polinomio $p(\lambda)=det (A-\lambda I)$. (lo ridefinisco perchè poi non è detto che lo si definisca così, in alcuni esami l'ho definito diversamente: dato che ciò che ci interessa sono le radici, ad esempio non cambia niente se lo moltiplichiamo per invertibili (che in $K$ sono le costanti) - se vuoi puoi ignorare la parentesi)
Si prova che, posto
$p(\lambda)=a_n \lambda^n + a_(n-1) \lambda^(n-1)+...+a_0$
si ha
$a_n=(-1)^n$
$a_(n-1)=(-1)^(n-1) tr A$ (ove $tr A$ è la traccia della matrice $A$)
e
$a_0=det A$. (la dimostrazione la puoi fare per induzione su $n$: provala)
In realtà più precisamente si può provare che $a_i=(-1)^(i) * \text{la somma dei minori "di testa" di ordine $i$}$
(ove con minori di testa intendo quelli la cui diagonale è costituita da elementi diagonali della matrice - è più difficile a definirsi che a capirsi, fatti qualche esempio e sarà chiaro). Chiaramente questo implica quanto ho detto prima.
Questo risulta utile nel caso di una matrice $2\times 2$: infatti in questo caso hai:
$p(\lambda)=\lambda^2-trA \lambda+detA$, che sono tutti facilmente calcolabili, e banalmente trovando i due numeri che moltiplicati fanno $det A$ e sommati fanno $tr A$ ottieni velocemente gli autovalori.
Si definisce polinomio caratteristico il polinomio $p(\lambda)=det (A-\lambda I)$. (lo ridefinisco perchè poi non è detto che lo si definisca così, in alcuni esami l'ho definito diversamente: dato che ciò che ci interessa sono le radici, ad esempio non cambia niente se lo moltiplichiamo per invertibili (che in $K$ sono le costanti) - se vuoi puoi ignorare la parentesi)
Si prova che, posto
$p(\lambda)=a_n \lambda^n + a_(n-1) \lambda^(n-1)+...+a_0$
si ha
$a_n=(-1)^n$
$a_(n-1)=(-1)^(n-1) tr A$ (ove $tr A$ è la traccia della matrice $A$)
e
$a_0=det A$. (la dimostrazione la puoi fare per induzione su $n$: provala)
In realtà più precisamente si può provare che $a_i=(-1)^(i) * \text{la somma dei minori "di testa" di ordine $i$}$
(ove con minori di testa intendo quelli la cui diagonale è costituita da elementi diagonali della matrice - è più difficile a definirsi che a capirsi, fatti qualche esempio e sarà chiaro). Chiaramente questo implica quanto ho detto prima.
Questo risulta utile nel caso di una matrice $2\times 2$: infatti in questo caso hai:
$p(\lambda)=\lambda^2-trA \lambda+detA$, che sono tutti facilmente calcolabili, e banalmente trovando i due numeri che moltiplicati fanno $det A$ e sommati fanno $tr A$ ottieni velocemente gli autovalori.
"Gaal Dornick":
Sia $A$ matrice $n \times n$ a coefficienti in un campo $K$.
Si definisce polinomio caratteristico il polinomio $p(\lambda)=det (A-\lambda I)$. (lo ridefinisco perchè poi non è detto che lo si definisca così, in alcuni esami l'ho definito diversamente: dato che ciò che ci interessa sono le radici, ad esempio non cambia niente se lo moltiplichiamo per invertibili (che in $K$ sono le costanti) - se vuoi puoi ignorare la parentesi)
Si prova che, posto
$p(\lambda)=a_n \lambda^n + a_(n-1) \lambda^(n-1)+...+a_0$
si ha
$a_n=(-1)^n$
$a_(n-1)=(-1)^(n-1) tr A$ (ove $tr A$ è la traccia della matrice $A$)
e
$a_0=det A$. (la dimostrazione la puoi fare per induzione su $n$: provala)
In realtà più precisamente si può provare che $a_i=(-1)^(i) * \text{la somma dei minori "di testa" di ordine $i$}$
(ove con minori di testa intendo quelli la cui diagonale è costituita da elementi diagonali della matrice - è più difficile a definirsi che a capirsi, fatti qualche esempio e sarà chiaro). Chiaramente questo implica quanto ho detto prima.
Questo risulta utile nel caso di una matrice $2\times 2$: infatti in questo caso hai:
$p(\lambda)=\lambda^2-trA \lambda+detA$, che sono tutti facilmente calcolabili, e banalmente trovando i due numeri che moltiplicati fanno $det A$ e sommati fanno $tr A$ ottieni velocemente gli autovalori.
Grazie per l'aiuto, diciamo che ho capito "quasi" tutto; ricapitolando, poniamo di avere la seguente matrice 3x3:
$((1,2,-1),(1,3,0),(1,2,1))$
Gli autovalori saranno:
$p(\lambda)= (-1)^3*lambda^3+(-1)^2*5*lambda^2+ ? + 2$
Mi mancano i passaggi successivi, ovvero non riesco a capire cosa intendi per "somma dei minori di testa", ho capito che in questo caso i minori di testa sono:
$((1,2),(1,3))$
$((3,0),(2,1))$
Ma non capisco come devo utilizzarli...
Non c'è proprio nessuno?
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