Metodo per determinare una base di autovettori
Salve a tutti, ho un dubbio sul metodo per determinare una base di autovettori di un endomorfismo. Per spiegare il mio dubbio propongo il seguente esercizio:
dato l'endomorfismo \(\displaystyle f:\mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^4 \) rappresentato nel riferimento \(\displaystyle R=((0,1,-1,0),(0,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,-1,0)) \) dalla matrice:
\(\displaystyle A=\left(\matrix{-1&2&0&0\\1&-1&0&1\\-1&1&1&0\\0&-1&0&-1}\right) \)
dire se \(\displaystyle f \) è diagonalizzabile e determinare una base di autovettori.
faccio il polinomio caratteristico che viene: \(\displaystyle p(t)=(1-t)(1+t)t(2+t) \), quindi \(\displaystyle f \) ha 4 autovalori distinti perciò è diagonalizzabile.
Per determinare una base di autovettori determino le basi degli autospazi relativi agli autovalori \(\displaystyle 1, -1, 0, 2 \) sostituendo questi nell'indeterminata t della matrice del polinomio caratteristico T e trovando le soluzioni del sistema \(\displaystyle TX=0 \). La mia domanda ora è questa: i vettori trovati costituiscono una base oppure sono le componenti nel riferimento R dei vettori della base??
dato l'endomorfismo \(\displaystyle f:\mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^4 \) rappresentato nel riferimento \(\displaystyle R=((0,1,-1,0),(0,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,-1,0)) \) dalla matrice:
\(\displaystyle A=\left(\matrix{-1&2&0&0\\1&-1&0&1\\-1&1&1&0\\0&-1&0&-1}\right) \)
dire se \(\displaystyle f \) è diagonalizzabile e determinare una base di autovettori.
faccio il polinomio caratteristico che viene: \(\displaystyle p(t)=(1-t)(1+t)t(2+t) \), quindi \(\displaystyle f \) ha 4 autovalori distinti perciò è diagonalizzabile.
Per determinare una base di autovettori determino le basi degli autospazi relativi agli autovalori \(\displaystyle 1, -1, 0, 2 \) sostituendo questi nell'indeterminata t della matrice del polinomio caratteristico T e trovando le soluzioni del sistema \(\displaystyle TX=0 \). La mia domanda ora è questa: i vettori trovati costituiscono una base oppure sono le componenti nel riferimento R dei vettori della base??
Risposte
Sono le componenti nel riferimento R (che è una base dello spazio) degli autovettori. Siccome ci sono 4 autovettori con autovalori distinti allora gli autovettori formano una base. Quindi in sostanza non comprendo quell'oppure. In ogni caso sono espressi come componenti nel riferimento R.
P.S: Se tu consideri le componenti trovate come se fossero espresse nella base canonica allora trovi una base dello spazio. Quello che non sono però è autovettori di \(f\). Nel senso che sono l'immagine degli autovettori a seguito della trasformazione dello spazio che manda R nella base canonica (e l'immagine di una base tramite un isomorfismo è ancora una base).
P.S: Se tu consideri le componenti trovate come se fossero espresse nella base canonica allora trovi una base dello spazio. Quello che non sono però è autovettori di \(f\). Nel senso che sono l'immagine degli autovettori a seguito della trasformazione dello spazio che manda R nella base canonica (e l'immagine di una base tramite un isomorfismo è ancora una base).
era quello che volevo dire, mi sono espressa male infatti volevo sapere se i vettori trovati costituiscono autovettori per \(\displaystyle f \) oppure erano le componenti in R degli autovettori! Comunque grazie mille hai chiarito il mio dubbio!! 
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