Metodo di massima discesa
ciao a tutti,volevo sapere se qualcuno poteva darmi una mano con l'interpretazione geometrica del metodo del gradiente di massima discesa per la risoluzione di un sistema lineare di n equazioni:
il punto è che in due dimensioni la funzione quadratica che ha per minimo proprio la soluzione del sistema rappresenta, quando la matrice A è simmetrica e definita positiva, un paraboloide ellittico.
dunque di questo paraboloide io voglio conoscere il minimo.
Allora parto da un punto arbitrario e traccio la retta che passa per questo punto e segue la direzione di massima discesa,ovvero la direzione del gradiente in quel punto ma nel verso opposto (quindi va verso il basso)..adesso il punto è che dovrei prendere il punto successivo come ''punto in cui la f è minima lungo questa retta'' (testuali parole) e non capisco cosa si intende con questa frase perchè il gradiente dovrebbe essere contenuto nel piano tangente a questa curva in quel punto preso arbitrariamente...dunque la retta non dovrebbe incontrare più il paraboloide...
non riesco a capire come posso prendere il secondo punto con questo ragionamento. su un testo in internet ho trovato che tracciata questa retta devo prendere il piano che contiene questa retta ed è ortogonale al piano tangente: questo ''taglia '' il paraboloide verticalmente e mi da una sezione definita da una parabola: il punto successivo dovrebbe essere il punto di minimo della parabola...mi posso fidare?da dove scaturisce questo ragionamento?
e poi perchè così dovrebbe convrgere al minimo?
spero che qualcuno mi possa aiutare,anche se solo parzialmente,veramente non mi vengono idee...grazie a tutti.
il punto è che in due dimensioni la funzione quadratica che ha per minimo proprio la soluzione del sistema rappresenta, quando la matrice A è simmetrica e definita positiva, un paraboloide ellittico.
dunque di questo paraboloide io voglio conoscere il minimo.
Allora parto da un punto arbitrario e traccio la retta che passa per questo punto e segue la direzione di massima discesa,ovvero la direzione del gradiente in quel punto ma nel verso opposto (quindi va verso il basso)..adesso il punto è che dovrei prendere il punto successivo come ''punto in cui la f è minima lungo questa retta'' (testuali parole) e non capisco cosa si intende con questa frase perchè il gradiente dovrebbe essere contenuto nel piano tangente a questa curva in quel punto preso arbitrariamente...dunque la retta non dovrebbe incontrare più il paraboloide...
non riesco a capire come posso prendere il secondo punto con questo ragionamento. su un testo in internet ho trovato che tracciata questa retta devo prendere il piano che contiene questa retta ed è ortogonale al piano tangente: questo ''taglia '' il paraboloide verticalmente e mi da una sezione definita da una parabola: il punto successivo dovrebbe essere il punto di minimo della parabola...mi posso fidare?da dove scaturisce questo ragionamento?
e poi perchè così dovrebbe convrgere al minimo?
spero che qualcuno mi possa aiutare,anche se solo parzialmente,veramente non mi vengono idee...grazie a tutti.
Risposte
"dedda":
su un testo in internet ho trovato che tracciata questa retta devo prendere il piano che contiene questa retta ed è ortogonale al piano tangente: questo ''taglia '' il paraboloide verticalmente e mi da una sezione definita da una parabola: il punto successivo dovrebbe essere il punto di minimo della parabola...mi posso fidare?da dove scaturisce questo ragionamento?
e poi perchè così dovrebbe convrgere al minimo?
sì, ti puoi fidare
e questo scaturisce proprio dall'idea di minimizzare la funzione lungo la retta individuata dal punto e dalla direzione del gradiente in quel punto
ok...grazie,ma nell'implementazione questa storia del piano ortogonale dove la incontro dal punto di vista analitico?
quindi sei d'accordo che cmq la retta che ha direzione opposta al gradiente non incontra il paraboloide in nessun altro punto?grazie mille
quindi sei d'accordo che cmq la retta che ha direzione opposta al gradiente non incontra il paraboloide in nessun altro punto?grazie mille
la retta di cui si parla sta nel piano xy, non nello spazio xyz
se ho:
$y = f(x,y)$
$(x_0,y_0)$
$\grad f(x_0,y_0)$
la retta di cui si parla è descritta parametricamente così ($t \in RR$):
$x = x_0 + t \cdot \frac{\del f}{\del x}(x_0,y_0)$
$Y = y_0 + t \cdot \frac{\del f}{\del y}(x_0,y_0)$
se ho:
$y = f(x,y)$
$(x_0,y_0)$
$\grad f(x_0,y_0)$
la retta di cui si parla è descritta parametricamente così ($t \in RR$):
$x = x_0 + t \cdot \frac{\del f}{\del x}(x_0,y_0)$
$Y = y_0 + t \cdot \frac{\del f}{\del y}(x_0,y_0)$
come fa a stare nel piano xy?non è contenuta nel piano tangente?
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