Metodo della risoluzione contemporanea di sistemi lineari

[balthasar-votailprof]

Precisamente, mi è stato chiesto di calcolare l'inversa di una matrice con questo sistema.

Qualcuno potrebbe brevemente spiegarmelo, dato che il libro di teoria non dice niente a riguardo?

[dissonance]

Nel seguito un indice $i$ nel pedice di una matrice indicherà l'$i$-esima colonna: $A_i$=$i$-esima colonna di $A$. Osservazione importante: date due matrici $A, B$ che possono essere moltiplicate, l'$i$-esima colonna del prodotto $AB$ è uguale al prodotto di $A$ per l'$i$-esima colonna di $B$:

$(AB)_i=A(B_i)$.
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Hai $A$ matrice $n times n$, vuoi calcolare $B=A^(-1)$; per definizione $B$ è quell'unica matrice $n times n$ tale che

$AB=I$ ($I$ = matrice identità $n times n$) .

Questa identità di matrici si può riscrivere come

$A(B_{1})=I_{1}, A(B_{2})=I_{2}, ..., A(B_{n})=I_{n}$ ;

ovvero come $n$ sistemi lineari nelle entrate di $B$. Risolvendo questi sistemi lineari si trova la matrice inversa di $A$.