Matricie cambiamento delle coordinate e dubbio su riduzione
In $R^2$ si considerino le basi $B^{\prime}$ = { $v_1^{\prime}$, $v_2^{\prime}$ } e $B$'' = { $v_1$'', $v_2$'' } e sia $x^$'' = $((-1,1),(2,0))$ $x^{\prime}$ la formula matriciale del cambiamento di delle coordinate nel passaggio dalla base $B^{\prime}$ alla base $B$'' . Supposto che $v_1^{\prime}$ = $((1),(1))$ e $v_2^{\prime}$ = $((1),(-1))$ determinare i vettore della base $B$''. Quali sono le coordinate del vettore $v$ = $((3),(1))$ rispetto alla base $B$'' ? Esistono vettori non nulli $winR^2$ che hanno le stesse coordinate in $B^{\prime}$ e $B$'' ?
Correggetimi se sbaglio
$v_1$'' = $((-1,1),(2,0))$ $((1),(1))$ = $((0),(2))$
$v_2$'' = $((-1,1),(2,0))$ $((1),(-1))$ = $((-2),(2))$
per quanto riguarda le coordinate del vetto $v$ rispetto a $B$'' si otterrebbero imponendo $((3),(1))$ = $x$ $((0),(2))$ + $y$ $((-2),(2))$
Ammesso che quanto abbia fin'ora detto abbia un senso ( e non ne sono granchè sicuro ) come potrei risolvere l'ultimo quesito?
Il secondo dubbio invece è riferito alla riduzione di una matrice in forma a scala, infatti non ho ancora ben capito se è possibile operare con sole operazioni elementari di riga o sole operazioni elementari di colonna oppure se è possibile operare con entrambe..
Correggetimi se sbaglio
$v_1$'' = $((-1,1),(2,0))$ $((1),(1))$ = $((0),(2))$
$v_2$'' = $((-1,1),(2,0))$ $((1),(-1))$ = $((-2),(2))$
per quanto riguarda le coordinate del vetto $v$ rispetto a $B$'' si otterrebbero imponendo $((3),(1))$ = $x$ $((0),(2))$ + $y$ $((-2),(2))$
Ammesso che quanto abbia fin'ora detto abbia un senso ( e non ne sono granchè sicuro ) come potrei risolvere l'ultimo quesito?
Il secondo dubbio invece è riferito alla riduzione di una matrice in forma a scala, infatti non ho ancora ben capito se è possibile operare con sole operazioni elementari di riga o sole operazioni elementari di colonna oppure se è possibile operare con entrambe..
Risposte
Le colonne $((-1),(2))$ e $((1),(0))$ della matrice $A_1=((-1,1),(2,0))$
sono le coordinate di $\vec (v'_1)$ e $\vec (v'_2)$ nella nuova base.
Infatti $A_1((1),(0))=((-1),(2)).
Saranno le colonne di $A_1^(-1)$ le coordinate dei vettori della base $B''$ rispetto alla base $B'$.
!...ma non rispetto alla base canonica.
Per cui devi considerare un altro cambiamento.
Sia $A_2$ la matrice $((1,1),(1,-1))$. Allora $A_2A_1^-1$ ti darà le coordinate di quei vettori ($\vec(v''_1)$ e $\vec(v''_2)$) alla base canonica. -ma perchè?
La stessa idea: una matrice di cambiamento di base da $B_1$ a $B_2$ è la
matrice che (ammette) come vettori colonna le coordinate dei vettori della "vecchia" base rispetto alla "nuova".
E la matrice inversa di quella (che c'è perchè quelle colonne-coordinate sono lin.indipendenti) per
il cambiamento da $B_2$ a $B_1$.
Così le coordinate, alla base canonica, dei vettori $\vec(v'_1)$ e $\vec(v'_2)$ saranno le
colonne di una matrice di cambiamento di base da $B'$ alla canonica.
Poi -quali sono le coordinate di $((3),(1))$ in $B''$?
Per quello che si diceva... è ancora cambiamento di base, dalla canonica a $B''$.
sono le coordinate di $\vec (v'_1)$ e $\vec (v'_2)$ nella nuova base.
Infatti $A_1((1),(0))=((-1),(2)).
Saranno le colonne di $A_1^(-1)$ le coordinate dei vettori della base $B''$ rispetto alla base $B'$.
!...ma non rispetto alla base canonica.
Per cui devi considerare un altro cambiamento.
Sia $A_2$ la matrice $((1,1),(1,-1))$. Allora $A_2A_1^-1$ ti darà le coordinate di quei vettori ($\vec(v''_1)$ e $\vec(v''_2)$) alla base canonica. -ma perchè?
La stessa idea: una matrice di cambiamento di base da $B_1$ a $B_2$ è la
matrice che (ammette) come vettori colonna le coordinate dei vettori della "vecchia" base rispetto alla "nuova".
E la matrice inversa di quella (che c'è perchè quelle colonne-coordinate sono lin.indipendenti) per
il cambiamento da $B_2$ a $B_1$.
Così le coordinate, alla base canonica, dei vettori $\vec(v'_1)$ e $\vec(v'_2)$ saranno le
colonne di una matrice di cambiamento di base da $B'$ alla canonica.
Poi -quali sono le coordinate di $((3),(1))$ in $B''$?
Per quello che si diceva... è ancora cambiamento di base, dalla canonica a $B''$.
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