Matrici unitarie: provare o confutare
Se A e B sono matrici unitarie allora A+B non è unitaria
credo sia vera ma partendo dalle proprietà delle matrici unitarie
come arrivare a mostrare che la loro somma non lo è mai?
credo sia vera ma partendo dalle proprietà delle matrici unitariecome arrivare a mostrare che la loro somma non lo è mai?
Risposte
tu vuoi negare che " se A e B sono unitarie allora A+B + unitaria", o vuoi dimostrare che "se A e B sono unitarie allora A+B non è unitaria"?
Voglio dimostrare che non esiste mai un esempio di somma di matrici unitarie che come risultato da una matrice unitaria..
ti dirò...secondo me non è vero...
io sono un fisico...e questo tuo problema mi ha fatto tanto pensare agli operatori unitari che si usano in meccanica quantistica (io stesso ho fatto una domanda in questo forum in proposito..)http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?p=136483&highlight=operatori#136483
In meccanica quantistica si usa il fatto che dato un operatore hermitiano,A, allora l'operatore $e^(i*A)$ è un operatore unitario. (un operatore unitario viene rappresentato in forma matriciale da una matrice unitaria!)
Ebbene..prendiamo ora due operatori hermitiani A e B e verifichiamo se la somma di due operatori unitari può essere, in qualche caso, ancora un operatore unitario.
(e^(i*A)+e^(i*B))*(e^(-i*A)+e^(-i*B))=
=e^(i*A)*e^(-i*A)+e^(i*A)*e^(-i*B)+e^(i*B)*e^(-i*A)+e^(i*B)*e^(-i*B)=
$=2+2*cos(A-B)$
Quindi per ottenere di nuovo una matrice unitaria ho bisogno di avere $A-B=2/3$pi$$
Quindi per esempio posso prendere:
A=${(1,0),(0,2)]$ e B=${(pi/3,0),(0,4/3pi)]$
A e B sono banalmente hermitiani. Quindi formano operatori unitari.
Ti starai chiedendo come puoi utilizzare le stesse regole algebriche con le matrici...era la mi stessa domanda. Il trucco è considerare l'espansione in serie delle funzioni che usi. Cmq guarda il link di prima.
ciao ciao
il vecchio
io sono un fisico...e questo tuo problema mi ha fatto tanto pensare agli operatori unitari che si usano in meccanica quantistica (io stesso ho fatto una domanda in questo forum in proposito..)http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?p=136483&highlight=operatori#136483
In meccanica quantistica si usa il fatto che dato un operatore hermitiano,A, allora l'operatore $e^(i*A)$ è un operatore unitario. (un operatore unitario viene rappresentato in forma matriciale da una matrice unitaria!)
Ebbene..prendiamo ora due operatori hermitiani A e B e verifichiamo se la somma di due operatori unitari può essere, in qualche caso, ancora un operatore unitario.
(e^(i*A)+e^(i*B))*(e^(-i*A)+e^(-i*B))=
=e^(i*A)*e^(-i*A)+e^(i*A)*e^(-i*B)+e^(i*B)*e^(-i*A)+e^(i*B)*e^(-i*B)=
$=2+2*cos(A-B)$
Quindi per ottenere di nuovo una matrice unitaria ho bisogno di avere $A-B=2/3$pi$$
Quindi per esempio posso prendere:
A=${(1,0),(0,2)]$ e B=${(pi/3,0),(0,4/3pi)]$
A e B sono banalmente hermitiani. Quindi formano operatori unitari.
Ti starai chiedendo come puoi utilizzare le stesse regole algebriche con le matrici...era la mi stessa domanda. Il trucco è considerare l'espansione in serie delle funzioni che usi. Cmq guarda il link di prima.
ciao ciao
il vecchio
perdonami vecchio.....
ma per definizione una matrice non è unitaria quando AA*=I?
Se uso la definizione alla matrice A ad esempio non è unitaria....
forse sono io che non capisco.....
Nel senso che devo partire per ipotesi da 2 matrici t.c. AA*=I e BB*=I....
proverò a guardare il link cmq grazie!
ma per definizione una matrice non è unitaria quando AA*=I?
Se uso la definizione alla matrice A ad esempio non è unitaria....
forse sono io che non capisco.....
Nel senso che devo partire per ipotesi da 2 matrici t.c. AA*=I e BB*=I....
proverò a guardare il link cmq grazie!
"brssfn76":
Se A e B sono matrici unitarie allora A+B non è unitaria.
Dimostrazione...
Ma puoi applicare binet alle somme?
non credo.... det(A+B) non è det A + det B
pensa alle matrici 2x2, all'identita scomposta in 2 matrici che hanno determinante nullo.
Forse sbaglio......correggimi pure
non credo.... det(A+B) non è det A + det B
pensa alle matrici 2x2, all'identita scomposta in 2 matrici che hanno determinante nullo.
Forse sbaglio......correggimi pure
"brssfn76":
Ma puoi applicare binet alle somme?
Forse sbaglio...
Ecco, mi ero appena accorto dell'errore, e mi hai battuto sul tempo. Non ti sbagli!
Ciao,
L.
Allora, vediamo di fare (forse) un passo avanti. Per assurdo. Siano A e B matrici ortogonali e supponiamo che anche la loro somma lo sia. E' facile provare che questo implica che la matrice $M=AB^{-1}$ è tale che $M^2+M+I=0$. Adesso tutto sta a trovare una contraddizione in quest'ultima affermazione...
Ci penso!
Ciao,
L.
Ci penso!
Ciao,
L.
ora guardo ciò che ha scritto Lorenzo...cmq la mia matrice unitaria NON è A, bensì e^(iA)!!
perdonami Lorenzo...ho letto il tuo curriculum e ti faccio i miei complimenti!! due cose:
- non capisco perchè adesso introduci le matrici ortogonali
- vorrei sapere che ne pensi di quanto ho scritto...che evidentemente va contro la tua prima dimostrazione..
ciao ciao
il vecchio
- non capisco perchè adesso introduci le matrici ortogonali
- vorrei sapere che ne pensi di quanto ho scritto...che evidentemente va contro la tua prima dimostrazione..
ciao ciao
il vecchio
"vecchio":
perdonami Lorenzo...ho letto il tuo curriculum e ti faccio i miei complimenti!! due cose:
- non capisco perchè adesso introduci le matrici ortogonali
- vorrei sapere che ne pensi di quanto ho scritto...che evidentemente va contro la tua prima dimostrazione..
Ti ringrazio, tuttavia mi sbaglio spesso e volentieri! Le matrici unitarie e reali sono le matrici ortogonali. Le matrici (scritte per righe):
A={{1,0}{0,-1}} e B={{-1/2,\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/2,1/2}}
sono ortogonali e reali (quindi unitarie), e la loro somma è unitaria. Questo è un controesempio alla "congettura di brssfn76" (che sulle prime mi sembrava vera!).
Spero 'stavolta che sia giusto!
Ciao,
L.
si esatto...il tuo controesempio è valido...proprio quanto il mio!! 
Ho appena fatto i conti con Maple...ed è giusto.
spero solo che sia chiaro a brss..(etc etc..
)
ciao
il vecchio
Ho appena fatto i conti con Maple...ed è giusto.
spero solo che sia chiaro a brss..(etc etc..
)ciao
il vecchio
GRazie a tutti!
Ma come siete arrivati alla soluzione?utilizzando i complessi?
quei valori me lo fanno suggerire.....sono valori notevoli trigonometrici....
chiaritemi perfavore.......lorenzo hai usato la dritta che mi aveva dato vecchio
sugli operatori unitari utilizzati in meccanica q.?
Ma come siete arrivati alla soluzione?utilizzando i complessi?
quei valori me lo fanno suggerire.....sono valori notevoli trigonometrici....
chiaritemi perfavore.......lorenzo hai usato la dritta che mi aveva dato vecchio
sugli operatori unitari utilizzati in meccanica q.?
"brssfn76":
GRazie a tutti!
Ma come siete arrivati alla soluzione?utilizzando i complessi?
quei valori me lo fanno suggerire.....sono valori notevoli trigonometrici....
chiaritemi perfavore.......lorenzo hai usato la dritta che mi aveva dato vecchio
sugli operatori unitari utilizzati in meccanica q.?
Man mano che provavo a dimostrare la tua congettura, e non trovavo contraddizioni, mi è cominciato a venire il sospetto che fosse falsa. Così ho preso una matrice molto semplice e ne ho cercata un'altra che completasse il controesempio. Mi sono ricordato che CNES perché una matrice sia ortogonale è che le sue colonne formino un sistema ortonormale (vettori due a due ortogonali, di norma 1).
Bell'esercizio, comunque!
L.
ma guarda...non so come abbia fatto Lorenzo...ma è davvero molto facile ricavarsi altre matrici con le stesse proprietà!!
Se tanto per cominciare prendi una matrice come quella presa da Lorenzo (che è ortogonale, con det=-1 e quindi anche unitaria - tra l'altro è anche hermitiana!). Dopo di che prendi un'altra matrice generica ortogonale:
${(a,b),(b,d)]$
occorre imporre che il |det|=1, quindi, per esempio $ad-b^2=1$.
Ora vediamo la somma di queste due matrici:
${(1,0),(0,-1)]+{(a,b),(b,d)]={(a+1,b),(b,d-1)]$
Imponiamo che la "matrice somma" sia unitaria -> |det|=1. Per esempio $(a+1)*(d-1)-b^2=1$.
Combinando le due equazioni trovi facilmente $a-d-1=0$, poni per esempio a=2, da cui d=1 e b=1.
Verifichi facilmente che sono tutte matrice unitarie.
ok?
ciao
il vecchio
Se tanto per cominciare prendi una matrice come quella presa da Lorenzo (che è ortogonale, con det=-1 e quindi anche unitaria - tra l'altro è anche hermitiana!). Dopo di che prendi un'altra matrice generica ortogonale:
${(a,b),(b,d)]$
occorre imporre che il |det|=1, quindi, per esempio $ad-b^2=1$.
Ora vediamo la somma di queste due matrici:
${(1,0),(0,-1)]+{(a,b),(b,d)]={(a+1,b),(b,d-1)]$
Imponiamo che la "matrice somma" sia unitaria -> |det|=1. Per esempio $(a+1)*(d-1)-b^2=1$.
Combinando le due equazioni trovi facilmente $a-d-1=0$, poni per esempio a=2, da cui d=1 e b=1.
Verifichi facilmente che sono tutte matrice unitarie.
ok?
ciao
il vecchio
"vecchio":
ma guarda...non so come abbia fatto Lorenzo...
Eh, ho fatto proprio così! Sulle prime, mi sembrava impossibile che, dati due sistemi di vettori ortonormali, la loro "somma" potesse essere ancora ortonormale. Eppure...
Ciao,
L.
beh..come no dai...basta che pensi a due sistemi di riferimento ortonormali, aventi la stessa origine, ruotati di un angolo qualunque uno rispetto all'altro. Se ora fai la somma dei versori...trovi ancora un sitema ortogonale. Se invece lo vuoi ORTONORMALE occorre che i sistemi siano ruotati relativamente di 120°!!!
Cmq...sono tutti casi particolari...le matrici che ho trovato adesso io per esempio non sono ortogonali...
Cmq...sono tutti casi particolari...le matrici che ho trovato adesso io per esempio non sono ortogonali...
"vecchio":
beh..come no dai...basta che pensi a due sistemi di riferimento ortonormali, aventi la stessa origine, ruotati di un angolo qualunque uno rispetto all'altro. Se ora fai la somma dei versori...
Questo è un bel modo di visualizzare la cosa!
Ciao,
L.
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