Matrici tali che A^2=A e B^2=B
Ciao ragazzi! Sto preparando l'esame di algebra lineare (geometria) e mi sono un attimo bloccato su una domanda d'esame. E' un vero falso, ma sono praticamente sicuro sia vero. In sostanza, siano $A$ e $B$ due matrici $\in M(n,\mathbb{R})$ tali che $$A^2=A$$ e $$B^2=B$$
Dimostrare che $A$ è simile a $B$ se e solo se $rk A=rk B$.
La prima implicazione è semplice poiché il rango è un invariante per similitudine, ma la seconda mi sta dando un pochino di problemi. Mi è venuto in mente di ragionare in termini di applicazioni associate alle matrici rispetto alla base canonica; in tal caso, avremmo due applicazioni $T$ ed $L$ tali che $$T(T(v))=T(v)$$ e $$L(L(v))=L(v)$$ $\forall v \in \mathbb{R^n}$. Queste applicazioni hanno la proprietà che $V=kerL\oplusImL$, e vale lo stesso anche per T; quindi se scriviamo le matrici associate alle applicazioni rispetto a quella base abbiamo delle matrici che hanno come come colonne tante colonne nulle quanti sono i vettori di $kerL$ e poi come altre colonne dei vettori di $ImL$ (e vale lo stesso per T). Ora però non so come andare avanti. Qualche idea?
Dimostrare che $A$ è simile a $B$ se e solo se $rk A=rk B$.
La prima implicazione è semplice poiché il rango è un invariante per similitudine, ma la seconda mi sta dando un pochino di problemi. Mi è venuto in mente di ragionare in termini di applicazioni associate alle matrici rispetto alla base canonica; in tal caso, avremmo due applicazioni $T$ ed $L$ tali che $$T(T(v))=T(v)$$ e $$L(L(v))=L(v)$$ $\forall v \in \mathbb{R^n}$. Queste applicazioni hanno la proprietà che $V=kerL\oplusImL$, e vale lo stesso anche per T; quindi se scriviamo le matrici associate alle applicazioni rispetto a quella base abbiamo delle matrici che hanno come come colonne tante colonne nulle quanti sono i vettori di $kerL$ e poi come altre colonne dei vettori di $ImL$ (e vale lo stesso per T). Ora però non so come andare avanti. Qualche idea?
Risposte
Ah bello! Ho scoperto solo recentemente che queste matrici si chiamano idempotenti :S Anyway, credo di averlo risolto. Grazie per l'assistenza, vi chiedo un ultimo sforzo di sopportazione per validare il mio ragionamento sul "tutte le matrici idempotenti sono diagonalizzabili" (ho tentato di dimostrarlo, ma non so se ne è uscito qualcosa di buono).
Intanto dimostriamo che $V=kerT\oplusImT$. Assumiamo, per assurdo, che ci sia un vettore $v$ non nullo in $ImT\cap\KerT$. Poiché $v\in\ImT$, allora $\existsw\in\mathbb{R^n}\ne0$ tale che $T(w)=v$. Ma $T(T(w))=T(v)=0$, che contraddice il fatto che $v\ne0$. Inoltre, dalla formula delle dimensioni sappiamo che $rkT+DimKerT=DimV$.
Ora prendiamo un vettore qualsiasi di $ImT$. Come prima, se è in $ImA$ allora $\existsw\in\mathbb{R^n}$ tale che $T(w)=v$. Quindi $T(T(w))=T(w)=T(v)$. Quindi $T(v)=v$. Allora unendo una base di $ImT$ e una base di $kerT$ abbiamo automaticamente una base di autovettori, con autovalori 0 e 1. Allora la matrice associata all'applicazione rispetto a questa base avrà 0 dappertutto tranne sulla diagonale, e sulla diagonale tanti 1 quant'è la dimensione dell'immagine, e tanti zero quant'è la dimensione del nucleo. Allora due matrici idempotenti se hanno lo stesso rango sono simili alla stessa matrice che abbiamo appena costruito, e quindi simili tra loro (che è quello che hai detto tu, però siccome mi pareva di non aver fatto nulla per risolvere quest'esercizio ho voluto quantomeno dimostrare che sono diagonalizzabili, che era l'unica cosa rimasta xD).
...ho detto bischerate?
Intanto dimostriamo che $V=kerT\oplusImT$. Assumiamo, per assurdo, che ci sia un vettore $v$ non nullo in $ImT\cap\KerT$. Poiché $v\in\ImT$, allora $\existsw\in\mathbb{R^n}\ne0$ tale che $T(w)=v$. Ma $T(T(w))=T(v)=0$, che contraddice il fatto che $v\ne0$. Inoltre, dalla formula delle dimensioni sappiamo che $rkT+DimKerT=DimV$.
Ora prendiamo un vettore qualsiasi di $ImT$. Come prima, se è in $ImA$ allora $\existsw\in\mathbb{R^n}$ tale che $T(w)=v$. Quindi $T(T(w))=T(w)=T(v)$. Quindi $T(v)=v$. Allora unendo una base di $ImT$ e una base di $kerT$ abbiamo automaticamente una base di autovettori, con autovalori 0 e 1. Allora la matrice associata all'applicazione rispetto a questa base avrà 0 dappertutto tranne sulla diagonale, e sulla diagonale tanti 1 quant'è la dimensione dell'immagine, e tanti zero quant'è la dimensione del nucleo. Allora due matrici idempotenti se hanno lo stesso rango sono simili alla stessa matrice che abbiamo appena costruito, e quindi simili tra loro (che è quello che hai detto tu, però siccome mi pareva di non aver fatto nulla per risolvere quest'esercizio ho voluto quantomeno dimostrare che sono diagonalizzabili, che era l'unica cosa rimasta xD).
...ho detto bischerate?
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