Matrici simmetriche e difetto di molteplicità
Salve a tutti!
Scrivendo un documento su autovalori ed autovettori, il mio professore mi ha detto che gli par di ricordare che ci sia un teorema per le matrici simmetriche, il quale enunci qualcosa del tipo che ad una matrice simmetrica corrispondano sempre o
1) autovalori reali distinti; o
2) autovalori reali non distinti, ma in cui non vi è difetto di molteplicità
e quindi che conseguentemente a matrici simmetriche siano sempre associati n autovettori linearmente indipendenti.
Poiché non era sicuro di questo teorema, ho provato a cercarlo sul testo su cui sto studiando (il Lang, versione inglese), ma non son riuscito a trovare niente del genere.
Qualcuno di voi saprebbe aiutarmi? Grazie di cuore!
Scrivendo un documento su autovalori ed autovettori, il mio professore mi ha detto che gli par di ricordare che ci sia un teorema per le matrici simmetriche, il quale enunci qualcosa del tipo che ad una matrice simmetrica corrispondano sempre o
1) autovalori reali distinti; o
2) autovalori reali non distinti, ma in cui non vi è difetto di molteplicità
e quindi che conseguentemente a matrici simmetriche siano sempre associati n autovettori linearmente indipendenti.
Poiché non era sicuro di questo teorema, ho provato a cercarlo sul testo su cui sto studiando (il Lang, versione inglese), ma non son riuscito a trovare niente del genere.
Qualcuno di voi saprebbe aiutarmi? Grazie di cuore!
Risposte
riguardato i miei appunti, il mio prof di Algebra Lineare, ci aveva dato questi 2 teoremi
Teorema: Una matrice simmetrica ha tutti gli autovalori reali.
Teorema: Sia $ A\in \mathbb{M}_(n\xx n) (\mathbb{R}) $. Se A è simmetrica, autovettori (reali) $ \ul(v_1),......,\ul(v_k) $ relativi ad autovalori distinti rispettivamente $ \lambda_1,......,\lambda_k $ sono a due a due ortogonali.
Teorema: Una matrice simmetrica ha tutti gli autovalori reali.
Teorema: Sia $ A\in \mathbb{M}_(n\xx n) (\mathbb{R}) $. Se A è simmetrica, autovettori (reali) $ \ul(v_1),......,\ul(v_k) $ relativi ad autovalori distinti rispettivamente $ \lambda_1,......,\lambda_k $ sono a due a due ortogonali.
In altri termini, (in dimensione finita) matrici simmetriche reali sono diagonalizzabili tramite matrici ortogonali.
Sono analoghi enunciati (e sue dirette conseguenze) del teorema spettrale.
Sono analoghi enunciati (e sue dirette conseguenze) del teorema spettrale.
Eh, è quello che ho trovato anche io, di quel che diceva il mio professore non ho trovato nulla.
Grazie mille!
Grazie mille!
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