Matrici simmetriche e antisimmetriche.

[Kashaman]

Esercizio del sernesi.

Sia $A in M_n(K)$. Dimostrare che $A+A^T$ (con $A^T$ indico la matrice trasposta) è simmetrica e che $A-A^T$ è antisimmetrica. Provare che $A$ può essere espressa come somma di matrice simmetrica per una antisimmetrica.

Ho provato al risolverlo al seguente modo :
Sia $A in M_n(K)$ provo che $A+A^T$ è simmetrica. Cioè devo provare che $(A+A^T)^T=A+A^T$.
Ma ciò è abbastanza ovvio.
Facendo uso del seguente lemma : $AA A,B in M_n(K) : (A+B)^T=A^T+B^T$
e sfruttando il fatto che $AA A in M_n(K) : (A^T)^T=A$
si ha che
$(A+A^T)=(A^T+(A^T)^T)=A^T+A=${poiché la somma è commutativa}$=A+A^T$ come volevasi.
Analogamente mostro che $A-A^T$ è antisimmetrica
ho che $(A+(-A^T))^T=A^T-(A^T)^T=A^T-A=-(A-A^T)$ come volevasi.
Consideriamo Ora $B=1/2((A+A^T)+(A-A^T))=1/2(A+A^T)+1/2(A-A^T)$
Si verifica facilmente che $B=A$ infatti
$B=1/2(A+A^T-A^T+A)=2A/2=A$
Inoltre essendo il primo addendo simmetrico e il secondo addendo antisimmetrico, risulta provato che A può esprimersi come somma di una matrice simmetrica per una antisimmetrica.


Che ne dite circa la risoluzione? ( Stavo pensando, il modo di rappresentare $A$ in tal modo è unico?)
Grazie mille ragazzi

[gugo82]

Sembra giusta.

Per quanto riguarda l'unicità, osserva che se \(A=T_1+S_1=T_2+S_2\) con le \(T_i\) simmetriche e le \(S_i\) antisimmetriche, allora:
\[
T_1-T_2=S_2-S_1\; ;
\]
dato che il primo membro è simmetrico ed il secondo è antisimmetrico e visto che l'unica matrice contemporaneamente simmetrica ed antisimmetrica è quella nulla, si ha necessariamente \(T_1-T_2=O=S_2-S_1\), ossia \(T_1=T_2\) e \(S_1=S_2\).

[Kashaman]

grazie gugo!