Matrici simmetriche

[lazza2]

Sia $S$ l'insieme delle matrici reali cha hanno $U= <(1,1,0,0),(0,1,2,0),(0,0,0,1)>$ come autospazio; si dica quale delle seguenti frase è vera:

1 Se A sta in S e (2,-2,1,0) è autovettore di A, allora A è simmetrica;
2 in $S$ non ci sono matrici simmetriche
3 U(ortogonale) è un autospazio di ogni matrice di $S$

Dato il sottospazio $U=<(1,1,0,0),(1,2,3,0)>$ di $RR^4$ si dica quale frase è vera

1 se una matrice simmetrica ha $U$ come autospazio, allora (1,1,1,1) non è un suo autovettore
2 se una matrice simmetrica ha $U$ come autospazio, allora (3,-3,1,0) è suo autovettore
3 nessuan matrice simmetrica che ha $U$ come autospazio ha due autovalori

Sapete illuminarmi?
Nella seconda escluderei la 3 altro non saprei...

[miuemia]

ciao, per il primo esercizio:
visto che $dim(U)=3$ allora le matrici di $S$ che hanno $U$ come autospazio posseggono un autovalore relativo a $U$ di molteplicità $3$ e visto che il polinomio caratteristico ha grado $4$ allora necessariamente ha un'altra radice reale che corrisponde all'autovalore relativo allo spazio ortogonale di $U$ quindi
è vero che l'ortogonale di $U$ è autospazio di tutte le matrici di $S$ che hanno $U$ come autospazio.
ciao ciao