Matrici simmetriche
Ciao,
sapreste provarmi in modo abbastanza semplice che una matrice simmetrica possiede sempre solamente autovalori reali??
[Nel corso di algebra lineare abbiamo dimostrato qualcosa di simile...ma erano dimostrazioni troppo complesse per essere richieste in un esame orale; xo pare questa domanda sia stata fatta in quel contesto...]
grazie
L.L
sapreste provarmi in modo abbastanza semplice che una matrice simmetrica possiede sempre solamente autovalori reali??
[Nel corso di algebra lineare abbiamo dimostrato qualcosa di simile...ma erano dimostrazioni troppo complesse per essere richieste in un esame orale; xo pare questa domanda sia stata fatta in quel contesto...]
grazie
L.L
Risposte
anche non troppo semplice se preferite ;P
L.L
L.L
Grazie ad entrambi!
Ma non c'è magari la possibilità di utilizzare il fatto che una matrice simmetrica è una matrice creata da un'applicazione lineare autoaggiunta ? (cioè tale che (f(x),y) = (x,f(y)) per tutti gli x e y)
L.L
Ma non c'è magari la possibilità di utilizzare il fatto che una matrice simmetrica è una matrice creata da un'applicazione lineare autoaggiunta ? (cioè tale che (f(x),y) = (x,f(y)) per tutti gli x e y)
L.L
ah ok, dovrei aver trovato la soluz utilizzando l'autoaggiunta..
Se si considera l'applicazione autoaggiunta f che genera la matrice A simmetrica, si a considerando tutto come appartenente a C:
k=a+i*b autovalore di f
z=x+i*y autovettore di f (quindi diverso da 0)
allora
f(z) = kz
analizzando parte reale e complessa si ottiene
f(x) = ax-by
f(y) = bx+ay
e rimpiazzando questi in (f(x),y)=(x,f(y)) si arriva a dire che b(||x||^2+||y||^2)=0.
Dunque b=0 e k=a € R
Ciao ciao!
L.L
Se si considera l'applicazione autoaggiunta f che genera la matrice A simmetrica, si a considerando tutto come appartenente a C:
k=a+i*b autovalore di f
z=x+i*y autovettore di f (quindi diverso da 0)
allora
f(z) = kz
analizzando parte reale e complessa si ottiene
f(x) = ax-by
f(y) = bx+ay
e rimpiazzando questi in (f(x),y)=(x,f(y)) si arriva a dire che b(||x||^2+||y||^2)=0.
Dunque b=0 e k=a € R
Ciao ciao!
L.L
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