Matrici simmetriche
Buona domenica,
Sto studiando la parte riguardante le matrici, in particolare, leggendo la definizione di matrice simmetrica la quale è definita come:
Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$, si dice matrice simmetrica se $A=A^t$ per ogni posto $(i,j)$, in particolare c'è questa relazione che non mi è chiara,
In una matrice reale simmetrica vi sono al più $(n(n+1))/(2)$ elementi indipendenti
non so come posso dedurlo.
Grazie in anticipo a chi mi risponderà.
Sto studiando la parte riguardante le matrici, in particolare, leggendo la definizione di matrice simmetrica la quale è definita come:
Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$, si dice matrice simmetrica se $A=A^t$ per ogni posto $(i,j)$, in particolare c'è questa relazione che non mi è chiara,
In una matrice reale simmetrica vi sono al più $(n(n+1))/(2)$ elementi indipendenti
non so come posso dedurlo.
Grazie in anticipo a chi mi risponderà.
Risposte
Devi contare quante coppie di interi formano l'insieme \(\{(i,j)\mid i\le j, \; 1\le i,j\le n\}\); queste sono tante quante gli ingressi che devi specificare in una matrice simmetrica. Persino a Gauss alle elementari era evidente che questi sono \(n+(n-1)+...+1 = \binom{n+1}{2}\).
Più intrinsecamente, lo spazio delle applicazioni bilineari simmetriche \(g : V\times V\to k\) ha dimensione \(\binom{n+1}{2}\), perché \(\{e_i\otimes e_j + e_j \otimes e_i \} \subset \hom(V\otimes V,k)\) ne è una base (dimostralo).
Nota che la formula delle dimensioni ti fa ricavare (se $k$ ha caratteristica diversa da $2$) la dimensione dello spazio delle simmetriche nota quella delle antisimmetriche, e viceversa: siccome \(S(V)\oplus A(V)=(V\otimes V)^\lor\), la formua delle dimensioni dice che...
Più intrinsecamente, lo spazio delle applicazioni bilineari simmetriche \(g : V\times V\to k\) ha dimensione \(\binom{n+1}{2}\), perché \(\{e_i\otimes e_j + e_j \otimes e_i \} \subset \hom(V\otimes V,k)\) ne è una base (dimostralo).
Nota che la formula delle dimensioni ti fa ricavare (se $k$ ha caratteristica diversa da $2$) la dimensione dello spazio delle simmetriche nota quella delle antisimmetriche, e viceversa: siccome \(S(V)\oplus A(V)=(V\otimes V)^\lor\), la formua delle dimensioni dice che...
In maniera informale ... in una matrice simmetrica, gli elementi "sopra" la diagonale principale sono uguali a quelli "sotto".
In quella principale sono $n$ e nelle diagonali "minori" che stanno sopra sono $n-1, n-2, ..., 2, 1$ per un totale quindi di $sum_(i=1)^n i = (n(n+1))/2$
Cordialmente, Alex
In quella principale sono $n$ e nelle diagonali "minori" che stanno sopra sono $n-1, n-2, ..., 2, 1$ per un totale quindi di $sum_(i=1)^n i = (n(n+1))/2$
Cordialmente, Alex
"killing_buddha":
Persino a Gauss alle elementari era evidente che questi sono \( n+(n-1)+...+1 = \binom{n+1}{2} \).
Si ok
"killing_buddha":
Più intrinsecamente, lo spazio delle applicazioni bilineari simmetriche \( g : V\times V\to k \) ha dimensione \( \binom{n+1}{2} \), perché \( \{e_i\otimes e_j + e_j \otimes e_i \} \subset \hom(V\otimes V,k) \) ne è una base (dimostralo).
Nota che la formula delle dimensioni ti fa ricavare (se $ k $ ha caratteristica diversa da $ 2 $) la dimensione dello spazio delle simmetriche nota quella delle antisimmetriche, e viceversa: siccome \( S(V)\oplus A(V)=(V\otimes V)^\lor \), la formua delle dimensioni dice che...
Non sono ancora arrivato sulle forme bileneari simmetriche, per cui non posso risponderti, invece per la seconda domanda spero che intendi questo:
In generale siano $U_1,U_2,...,U_t$ sottospazi vettoriali di $V_n$ si ha:
$U_1+,...,+U_t=U_1 oplus,...,oplus U_t leftrightarrow dim(U_1+,...,+U_t)=dim(U_1)+,...+dim(U_t)$
In poco parole, il sottospazio vettoriale delle matrici simmetriche è generto dal sistema costituito dalle $((n(n+1))/(2))$ matrici ${E_(1,1),E_(1,2)+E(2,1),...,E_(1,n)+E_(n,1),E_(n,n)}$ "lo so non è scritto in modo corretto".
Per cui applicando quanto detto, si ha che gli elementi linearmenti indipendenti di una matrice simmetrica sono :$((n(n+1))/(2))$
"axpgn":
In maniera informale ... in una matrice simmetrica, gli elementi "sopra" la diagonale principale sono uguali a quelli "sotto".
In quella principale sono $ n $ e nelle diagonali "minori" che stanno sopra sono $ n-1, n-2, ..., 2, 1 $ per un totale quindi di $ sum_(i=1)^n i = (n(n+1))/2 $
Cordialmente, Alex
Grazie chiarissimo
Cordiali Saluti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo