Matrici simili, stesso rango, dimostrazione
Come dimostro che due matrici simili hanno lo stesso rango?
Anche dimostrando che hanno lo stesso determinante, mi ritrovo che se il determinante fosse 0, non saprei come fare >.< help!
P.S. ho già cercato ma non ho trovato nulla..
Anche dimostrando che hanno lo stesso determinante, mi ritrovo che se il determinante fosse 0, non saprei come fare >.< help!
P.S. ho già cercato ma non ho trovato nulla..
Risposte
Ma devi proprio fare tutti i conti?!? 
Le matrici simili nascono naturalmente quando uno parla di endomorfismi e cambiamenti di base: prendi uno spazio vettoriale $V$ (e per stare tranquilli prendiamolo pure di dimensione finita) e considera un endomorfismo $phi : V to V$. Sai che, fissata una base di $B$, l'endomorfismo si rappresenta mediante una matrice quadrata, giusto? E dovrebbe anche essere chiaro che l'immagine di $phi$ ha dimensione pari al rango di $A$.
Ora se noi cambiamo base (supponiamo di prendere un'altra base di $V$ e chiamiamo $P$ la matrice del cambiamento di base) allora la matrice associata a $phi$ nella nuova base si ottiene facendo $P^{-1}AP$, cioè è simile ad $A$.
A questo punto abbiamo finito: l'immagine dell'endomorfismo (e in particolare la dimensione dell'immagine) non può dipendere dal modo in cui noi rappresentiamo l'endomorfismo: ne segue che $rank(A)=rank(P^{-1}AP)$, che è appunto quello che volevamo.
Capisco che sto un pochino barando, ma vorrei in tutti i modi evitare i conti: temo che dimostrare direttamente l'invarianza del rango per similitudine sia estremamente calcoloso (ma magari mi sbaglio).
Le matrici simili nascono naturalmente quando uno parla di endomorfismi e cambiamenti di base: prendi uno spazio vettoriale $V$ (e per stare tranquilli prendiamolo pure di dimensione finita) e considera un endomorfismo $phi : V to V$. Sai che, fissata una base di $B$, l'endomorfismo si rappresenta mediante una matrice quadrata, giusto? E dovrebbe anche essere chiaro che l'immagine di $phi$ ha dimensione pari al rango di $A$.
Ora se noi cambiamo base (supponiamo di prendere un'altra base di $V$ e chiamiamo $P$ la matrice del cambiamento di base) allora la matrice associata a $phi$ nella nuova base si ottiene facendo $P^{-1}AP$, cioè è simile ad $A$.
A questo punto abbiamo finito: l'immagine dell'endomorfismo (e in particolare la dimensione dell'immagine) non può dipendere dal modo in cui noi rappresentiamo l'endomorfismo: ne segue che $rank(A)=rank(P^{-1}AP)$, che è appunto quello che volevamo.
Capisco che sto un pochino barando, ma vorrei in tutti i modi evitare i conti: temo che dimostrare direttamente l'invarianza del rango per similitudine sia estremamente calcoloso (ma magari mi sbaglio).
Se sono simili, hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Se hanno lo stesso polinomio caratteristico, hanno gli stessi autovalori.
La molteplicità dell'autovalore nullo....
Se hanno lo stesso polinomio caratteristico, hanno gli stessi autovalori.
La molteplicità dell'autovalore nullo....
Invece come si fa a dimostrare che se $A\inK^(nxn), P,Q\inK^(nxn)$ con $P,Q$ invertibili, il rango di $A$ è uguale al rango di $PAQ$?
1) $rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)}$
Si usa il lemma di Steinitz, osservando che una generica colonna di $AB$ si scrive come combinazione di $rank(A)$ colonne di $A$ linearmente indipendenti
2) Sia $B$ una matrice $m \times n$ e $C$ una matrice invertibile di ordine $n$. Allora $rank(BC)=rank(B)$
Usando la 1) si ha $rank(BC)<=rank(B)$. D'altra parte, $rank(B)=rank(BI_n)=rank(BC C^-1)<=rank(BC)$
3) Sia $B$ una matrice $m \times n$ e $C$ una matrice invertibile di ordine $m$. Allora $rank(CB)=rank(B)$
Usando la 2) si ha $rank(CB)=rank(B^tC^t)=rank(B^t)=rank(B)$
4) Matrici simili hanno lo stesso rango
Se esiste $P$ invertibile tale che $A=P^-1BP$, combinando 2) e 3) hai
$rank(A)=rank(P^-1BP)=rank(BP)=rank(B)$
La 2) e la 3) dovrebbero aiutarti anche in quell'altro esercizio
Si usa il lemma di Steinitz, osservando che una generica colonna di $AB$ si scrive come combinazione di $rank(A)$ colonne di $A$ linearmente indipendenti
2) Sia $B$ una matrice $m \times n$ e $C$ una matrice invertibile di ordine $n$. Allora $rank(BC)=rank(B)$
Usando la 1) si ha $rank(BC)<=rank(B)$. D'altra parte, $rank(B)=rank(BI_n)=rank(BC C^-1)<=rank(BC)$
3) Sia $B$ una matrice $m \times n$ e $C$ una matrice invertibile di ordine $m$. Allora $rank(CB)=rank(B)$
Usando la 2) si ha $rank(CB)=rank(B^tC^t)=rank(B^t)=rank(B)$
4) Matrici simili hanno lo stesso rango
Se esiste $P$ invertibile tale che $A=P^-1BP$, combinando 2) e 3) hai
$rank(A)=rank(P^-1BP)=rank(BP)=rank(B)$
La 2) e la 3) dovrebbero aiutarti anche in quell'altro esercizio
Ammonizione per Sebastiantum per Necroposting
Regola strana....
Posso fare delle domande a Cantor99 o non scrivo più?
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"Sebastiantum":
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chi c'aveva fatto caso agli anni di pubblicazione dei messaggi 
@Sebastantium puoi scrivermi anche un messaggio privato!
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