Matrici simili solo a se stesse
Ciao, avrei bisogno di un aiuto con la seconda parte di questo esercizio.
Devo trovare tutte e sole le matrici quadrate simili solo a se stesse.
La prima cosa che ho fatto è stato pensare al fatto che le matrici che commutano con tutte le altre matrici sono esattamente quelle scalari [edit: per matrice scalare intendo una matrice ottenuta moltiplicando la matrice identica per uno scalare $alpha$]; usando questo fatto, viene subito che tutte le matrici scalari sono simili solo a se stesse, perchè se $T$ è una matrice simile a $\alpha$$1$, si ha che $T$ = $P^(-1)$ $\alpha$$1$ $P$ per qualche matrice invertibile $P$, ma $\alpha$$1$ commuta con $P$ e $P^(-1)$$P$=$1$, dunque $T$ = $\alpha$$1$
Però non riesco a dimostrare che solo le matrici scalari sono simili solo a se stesse, come mi suggerisce il filo della mia dimostrazione. Forse dovrei usare il fatto che solo le matrici scalari commutano con tutte le altre matrici, ma al momento non saprei come.
Grazie
Devo trovare tutte e sole le matrici quadrate simili solo a se stesse.
La prima cosa che ho fatto è stato pensare al fatto che le matrici che commutano con tutte le altre matrici sono esattamente quelle scalari [edit: per matrice scalare intendo una matrice ottenuta moltiplicando la matrice identica per uno scalare $alpha$]; usando questo fatto, viene subito che tutte le matrici scalari sono simili solo a se stesse, perchè se $T$ è una matrice simile a $\alpha$$1$, si ha che $T$ = $P^(-1)$ $\alpha$$1$ $P$ per qualche matrice invertibile $P$, ma $\alpha$$1$ commuta con $P$ e $P^(-1)$$P$=$1$, dunque $T$ = $\alpha$$1$
Però non riesco a dimostrare che solo le matrici scalari sono simili solo a se stesse, come mi suggerisce il filo della mia dimostrazione. Forse dovrei usare il fatto che solo le matrici scalari commutano con tutte le altre matrici, ma al momento non saprei come.
Grazie
Risposte
Sicuramente si può affermare che $A in cc(M)_(nxn)(RR)$ è simile solo a se stessa $<=> AA P in GL(RR)$ si ha $AP=PA$
Non ci sono solo le matrici scalari (ovvero le matrici $A in cc(M)_(1x1)(RR)$), ma vanno aggiunte anche tutte le matrici "multiple della matrice identità".
Ovvero , $AA n in NN$, tutte le matrici del tipo $A=a*I$, con $a in RR$ e $I$ matrice identità di ordine $n$.
Se ce ne siano altre ancora, non so. Al momento non mi vengono in mente.
Non ci sono solo le matrici scalari (ovvero le matrici $A in cc(M)_(1x1)(RR)$), ma vanno aggiunte anche tutte le matrici "multiple della matrice identità".
Ovvero , $AA n in NN$, tutte le matrici del tipo $A=a*I$, con $a in RR$ e $I$ matrice identità di ordine $n$.
Se ce ne siano altre ancora, non so. Al momento non mi vengono in mente.
Grazie, però a questo avevo già pensato, infatti io per matrici scalari intendo le matrici ottenute moltiplicando la matrice identità per uno scalare.
Il problema è che voglio dimostrare che solo queste vanno bene, perché sono convinto che non ce ne siano altre.
Il problema è che voglio dimostrare che solo queste vanno bene, perché sono convinto che non ce ne siano altre.
Cercando nel forum, ho notato che circa un mese fa se ne è già parlato e si è arrivati a dimostrare ciò che tu affermi: Qui
No, lì si dimostra che le matrici nxn che commutano con tutte le matrici dello stesso ordine sono tutte e sole le matrici scalari, mentre a me serve una cosa diversa, perchè dimostrare che solo le matrici scalari commutano con tutte le altre non mi sembra dimostri automaticamente che solo le matrici scalari sono simili solo a se stesse, o almeno non è così evidente per me.
"Matthia":
No, lì si dimostra che le matrici nxn che commutano con tutte le matrici dello stesso ordine sono tutte e sole le matrici scalari, mentre a me serve una cosa diversa, perchè dimostrare che solo le matrici scalari commutano con tutte le altre non mi sembra dimostri automaticamente che solo le matrici scalari sono simili solo a se stesse
Io ieri ho scritto
"Gi8":
Sicuramente si può affermare che $A in cc(M)_(nxn)(RR)$ è simile solo a se stessa $<=> AA P in GL(RR)$ si ha $AP=PA$
Non ti è chiaro questo?
Si può dimostrare così:$A in cc(M)_(nxn)(RR)$ è simile solo a se stessa $<=>AA P in GL(RR)$ si ha $P^(-1)AP=A <=> AA P in GL(RR)$ si ha $AP=PA$
Ok, sul fatto che una matrice è simile solo a se stessa se e solo se è una matrice che commuta con tutte le matrici invertibili ci sono. Se una matrice è scalare, commuta con tutte le matrici (invertibili e non invertibili), quindi commuta con tutte le matrici invertibili, quindi è simile solo a se stessa. Viceversa, sappiamo che se una matrice non è scalare non commuta con tutte le matrici, ma il punto è: come si può essere sicuri che, anche se non commuta con tutte le matrici, non continui a commutare con tutte le matrici invertibili (che non sono tutte!), continuando a rimanere una matrice simile solo a se stessa?
Quindi, girando il problema, rimarrebbe da dimostrare che se una matrice non commuta con tutte le matrici allora non commuta con almeno una matrice invertibile, o equivalentemente che se una matrice commuta con tutte le matrici invertibili allora necessariamente commuta con tutte le matrici.
Grazie per la pazienza.
Quindi, girando il problema, rimarrebbe da dimostrare che se una matrice non commuta con tutte le matrici allora non commuta con almeno una matrice invertibile, o equivalentemente che se una matrice commuta con tutte le matrici invertibili allora necessariamente commuta con tutte le matrici.
Grazie per la pazienza.
Proposizione: Se $A in cc(M)_(nxn)(RR)$ commuta con tutte le matrici invertibili, allora è scalare (ovvero$A=c*I$, con $c in RR$).
Dimostrazione:Se $A \in M(n,\mathbb R)$ commuta con ogni $B \in GL(n,\mathbb R)$, in particolare commuta con $B=B_{ij} = i\delta_{ij}$ ($1 \leq i,j \leq n$).
La condizione $AB = BA$ diventa dunque $iA_{ij} =jA_{ij}$ da cui $A_{ij} = 0$ se $i \ne j$, ossia $A$ è diagonale. (Qui Gugo ha fatto un esempio pratico con $n=3$)
Quindi $A$ è diagonale. Se $n=3$, $A=((a_(11),0,0),(0,a_(22),0),(0,0,a_(33)))$
Ora consideriamo la matrice $C=C_(i,j)={(1, i<=j),(0 , i>j):}$. Ad esempio, con $n=3$: $C=((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))$
Tale matrice ha determinante pari a $1$, quindi è invertibile. Per ipotesi, $A$ deve commutare con $C$.
La prima riga di $A*C$ è formata tutta da $a_(1,1)$ (elemento della prima riga e prima colonna di $A$
La prima riga di $C*A$ è formata da tutti gli elementi della diagonale di $A$, ovvero $a_(1,1)$, $a_(2,2)$,.... $a_(n,n)$
Quindi, poichè deve valere $A*C=C*A$, si avrà $a_(1,1)=a_(2,2)=....=a_(n,n)$
Quindi $A$ è una matrice scalare
Dimostrazione:Se $A \in M(n,\mathbb R)$ commuta con ogni $B \in GL(n,\mathbb R)$, in particolare commuta con $B=B_{ij} = i\delta_{ij}$ ($1 \leq i,j \leq n$).
La condizione $AB = BA$ diventa dunque $iA_{ij} =jA_{ij}$ da cui $A_{ij} = 0$ se $i \ne j$, ossia $A$ è diagonale. (Qui Gugo ha fatto un esempio pratico con $n=3$)
Quindi $A$ è diagonale. Se $n=3$, $A=((a_(11),0,0),(0,a_(22),0),(0,0,a_(33)))$
Ora consideriamo la matrice $C=C_(i,j)={(1, i<=j),(0 , i>j):}$. Ad esempio, con $n=3$: $C=((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))$
Tale matrice ha determinante pari a $1$, quindi è invertibile. Per ipotesi, $A$ deve commutare con $C$.
La prima riga di $A*C$ è formata tutta da $a_(1,1)$ (elemento della prima riga e prima colonna di $A$
La prima riga di $C*A$ è formata da tutti gli elementi della diagonale di $A$, ovvero $a_(1,1)$, $a_(2,2)$,.... $a_(n,n)$
Quindi, poichè deve valere $A*C=C*A$, si avrà $a_(1,1)=a_(2,2)=....=a_(n,n)$
Quindi $A$ è una matrice scalare
Il tuo ultimo post, ma soprattutto questo
risolve definitivamente ogni mio dubbio
Adesso ho capito perchè mi hai rimandato a quell'altro thread, avevo visto letto solo i primi post e mi sembrava che parlasse solo del caso generale, mentre coinvolgeva anche l'invertibilità! Grazie per l'aiuto!
"Gi8":
Se $A in cc(M)_(nxn)(RR)$ commuta con tutte le matrici invertibili, allora è scalare.
risolve definitivamente ogni mio dubbio
Adesso ho capito perchè mi hai rimandato a quell'altro thread, avevo visto letto solo i primi post e mi sembrava che parlasse solo del caso generale, mentre coinvolgeva anche l'invertibilità! Grazie per l'aiuto!
Prego, figurati!
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