Matrici simili e polinomi caratteristici
Costruire due matrici $A$ e $B$ reali di ordine $4$ aventi entrambe polinomio caratteristico $x^4+2x^2+1$
Allora...
Inanzitutto mostriamo che ne esiste almeno una
$A=((0,-1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,-1),(0,0,1,0))$
Ok ora osserviamo che due matrici son simili se e soltanto se hanno la stessa forma canonica di jordan.
Quindi possiamo considerare le due matrici con polinomi minimi differenti.
Inanzitutto scomponiamo il polinomio caratteristico.
$P(x)=(x-i)^2 (x+i)^2$
ora è sufficiente che le due matrici abbiano due differenti polinomi minimi
il polinomio minimo di $A$
$m(x)=(x-i) (x+i)^2$
il polinomio minimo di $B$
$n(x)=(x-i)^2 (x+i)^2$
Quindi abbiamo
$A=((i,0,0,0),(0,i,0,0),(0,0,-i,0),(0,0,1,-i))$
$B=((i,0,0,0),(1,i,0,0),(0,0,-i,0),(0,0,1,-i))$
Ok ora come faccio a trovare una base reale che mi dia matrici a coefficienti reali?
Allora...
Inanzitutto mostriamo che ne esiste almeno una
$A=((0,-1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,-1),(0,0,1,0))$
Ok ora osserviamo che due matrici son simili se e soltanto se hanno la stessa forma canonica di jordan.
Quindi possiamo considerare le due matrici con polinomi minimi differenti.
Inanzitutto scomponiamo il polinomio caratteristico.
$P(x)=(x-i)^2 (x+i)^2$
ora è sufficiente che le due matrici abbiano due differenti polinomi minimi
il polinomio minimo di $A$
$m(x)=(x-i) (x+i)^2$
il polinomio minimo di $B$
$n(x)=(x-i)^2 (x+i)^2$
Quindi abbiamo
$A=((i,0,0,0),(0,i,0,0),(0,0,-i,0),(0,0,1,-i))$
$B=((i,0,0,0),(1,i,0,0),(0,0,-i,0),(0,0,1,-i))$
Ok ora come faccio a trovare una base reale che mi dia matrici a coefficienti reali?
Risposte
"angus89":
Costruire due matrici $A$ e $B$ reali di ordine $4$ aventi entrambe polinomio caratteristico $x^4+2x^2+1$
Allora...
Inanzitutto mostriamo che ne esiste almeno una
$A=((0,-1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,-1),(0,0,1,0))$
Ok, a questo punto puoi prendere la seguente matrice:
$B = ((0,-1,k,0),(1,0,0,0),(0,0,0,-1),(0,0,1,0))$
con $k \ne 0$.
Osserva che $B$ è triangolare a blocchi e puoi divertirti a "riempire" la parte "nord-est"
(cioè la sottomatrice 2x2 in alto a sinistra) di $B$ come vuoi,
tanto il polinomio caratteristico non cambia!
Ad esempio:
$B' = ((0,-1,6,-45),(1,0,-4,-87),(0,0,0,-1),(0,0,1,0))$
il polinomio è sempre
$p(lambda) = lambda^4 + 2 lambda^2 + 1$ .
ok...
Hoanno polinomio minimo differenti quindi effettivamente funziona
Ma non ci avrei pensato subito dato che costruire matrici con quel polinomio caratteristico è relativamente facile, ma fare in modo che non siano simili non è altrettanto facile.
grazie ancora!!!
Hoanno polinomio minimo differenti quindi effettivamente funziona
Ma non ci avrei pensato subito dato che costruire matrici con quel polinomio caratteristico è relativamente facile, ma fare in modo che non siano simili non è altrettanto facile.
grazie ancora!!!
"angus89":
Costruire due matrici $A$ e $B$ reali di ordine $4$ aventi entrambe polinomio caratteristico $x^4+2x^2+1$
Un altro modo di ragionare è il seguente:
per $A$ possiamo scegliere la matrice
$A=((0,-1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,-1),(0,0,1,0))$
mentre per $B$ possiamo scegliere
$B = M A M^(-1)$ con $M$ 4x4 invertibile.
Il testo ti chiede due matrici aventi lo stesso polinomio caratteristico.
Quelle matrici $B$ che ti ho scritto nel messaggio precedente non sono simili ad $A$,
mentre quelle del tipo $M A M^(-1)$ lo sono.
In ogni caso il polinomio caratteristico è sempre quello...
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