Matrici simili e cambiamenti di base.
Sul mio libro dice che se le due matrici A e J rappresentano un endomorfismo f nelle basi B e B', esse sono legate dalla relazione J=P^(-1)AP, cioè A e J sono simili. Fin qui tutto bene. Quello che non capisco è perchè P, siccome è la trasposta della matrice del cambiamento di base da B a B', ha nelle colonne le componenti di B' in B. Se qualcuno volesse aiutarmi perchè oramai sui cambiamenti di base ci ho fatto una croce sopra!!!
Risposte
Innanzitutto $P$ non è la "trasposta della matrice del cambiamento di base", ma solo la matrice del cambiamento di base.
In merito alla tua domanda, $P$ ha nella $j$-esima colonna le componenti del $j$-esimo vettore di $B'$ rispetto a $B$, perchè è la definizione di matrice di cambiamento di base.
Ricapitolando: definisci cos'è la matrice di cambiamento di base, definisci cos'è la matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base.
Allora la proprietà è quella riportata sul tuo libro: le matrici associate ad un endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili.
Spero di aver compreso la domanda e di aver chiarito il tuo dubbio. Se ci sono problemi, chiedi pure.
In merito alla tua domanda, $P$ ha nella $j$-esima colonna le componenti del $j$-esimo vettore di $B'$ rispetto a $B$, perchè è la definizione di matrice di cambiamento di base.
Ricapitolando: definisci cos'è la matrice di cambiamento di base, definisci cos'è la matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base.
Allora la proprietà è quella riportata sul tuo libro: le matrici associate ad un endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili.
Spero di aver compreso la domanda e di aver chiarito il tuo dubbio. Se ci sono problemi, chiedi pure.
P è la trasposta della matrice del cambiamento di base da B' a B, scusa prima ho sbagliato a scrivere: è questo che non mi è chiaro. Mica conosci qualche parte sul web dove mi posso chiarire le idee?
Non sono d'accordo. $P$ è la matrice di cambiamento di base e non la sua trasposta.
Almeno questo è ciò che accade con le notazioni usuali, per es. qui (pag. 22, quarto rigo) o qui (corollario 24.5, pag. 55).
Sul tuo libro è scritto che $P$ è la trasposta della matrice di cambiamento di base? Come è definita la matrice di cambiamento di base?
P.S. Comunque le dispense (segnalate anche in alto nella sezione di Geometria) sono entrambe per matematici.
Se non studi matematica, forse non ti conviene considerarle. Potrebbero complicarti le idee. Confronta solo i risultati.
Almeno questo è ciò che accade con le notazioni usuali, per es. qui (pag. 22, quarto rigo) o qui (corollario 24.5, pag. 55).
Sul tuo libro è scritto che $P$ è la trasposta della matrice di cambiamento di base? Come è definita la matrice di cambiamento di base?
P.S. Comunque le dispense (segnalate anche in alto nella sezione di Geometria) sono entrambe per matematici.
Se non studi matematica, forse non ti conviene considerarle. Potrebbero complicarti le idee. Confronta solo i risultati.
Cmq il mio dubbio rimane. Io sono ingegnere delle telecomicazioni. Ti ringrazio per il tentativo di aiuto.
forse quello che intendi dire è che $P$ la costruisci in questo modo:
in ogni riga scrivi le coordinate dei vettori della base $B$ rispetto alla base $B'$ e poi trasponi.
( è analogo a scrivere le coordinate dei vettori di $B$ nelle colonne della matrice, senza poi trasporre, ma è l'unico ragionamento che mi pare possibile )
ma quella che ottieni è già la matrice di cambiamento di base, non la sua trasposta.
chiaro?
in ogni riga scrivi le coordinate dei vettori della base $B$ rispetto alla base $B'$ e poi trasponi.
( è analogo a scrivere le coordinate dei vettori di $B$ nelle colonne della matrice, senza poi trasporre, ma è l'unico ragionamento che mi pare possibile )
ma quella che ottieni è già la matrice di cambiamento di base, non la sua trasposta.
chiaro?
Ok. Grazie.
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