Matrici simili

[bibi111]

Non ho ben capito una cosa: se due matrici A e B hanno stesso polinomio caratteristico e minimo allora sono simili?
Il mio libro in un esercizio mi chiede di dimostrare che due matrici sono simili e suggerisce di dimostrare appunto che i polinomi caratteristici e mini coincidano rispettivamente. D'altronde spiegando la teoria di Jordan, scrive che se l'ordine della matrice è superiore a 3 esistono delle forme canoniche di Jordan non simili tra loro che però hanno stesso polinomio caratteristico e minimo.
L'esempio che fa è pol caratteristico: \(\displaystyle \mathit{(X-a)^{4}} \) e pol minimo \(\displaystyle \mathit{(X-a)^{2}} \)

[Magma1]

Avere lo stesso polinomio caratteristico è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché due matrici siano simili; ovvero

se due matrici sono simili, allora hanno lo stesso polinimio caratteristico

ma il viceversa non è valido.

[cooper1]

penso possa esserti utile questa mia vecchia discussione

[bibi111]

"Magma":[-X Avere lo stesso polinomio caratteristico è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché due matrici siano simili; ovvero

se due matrici sono simili, allora hanno lo stesso polinimio caratteristico

ma il viceversa non è valido.

OK, ma è condizione sufficiente che pol caratteristico e minimo siano uguali?

[bibi111]

"cooper":penso possa esserti utile questa mia vecchia discussione

Ho letto, però non risponde alla mia domanda… Cioè capisco che non è sufficiente che pol caratteristico sia uguale ecc ma a proposito del pol minimo e caratteristico?

[cooper1]

è un'estensione del secondo punto dell'elenco. le radici del polinomio minimo sono radici anche del polinomio caratteristico (e dunque autovalori). se i due polinomi sono uguali allora due matrici simili condividono gli stessi autovalori.
il suggerimento è quindi quello di usare il secondo punto dell'elenco, detto in altra maniera. devi però valutare anche la diagonizzabilità.

[bibi111]

Ok ma supponiamo che non siano diagonalizzabili… Allora so che hanno stessi autovalori che appartengono al campo, supponiamo pure tutti, a questo punto io so che hanno lo stesso pol minimo. Il che vuol dire che "jordanizzando" entrambe le matrici ottengo la stessa forma di Jordan? Non è detto (se la dimensione dello spazio vettoriale è maggiore di 3). Posso quindi concludere che potrebbero non essere simili???

[Martino]

Prendiamo $((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$ e $((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$.

Hanno polinomio caratteristico $x^4$, polinomio minimo $x^2$ ma ovviamente non sono simili (hanno rango diverso).

[bibi111]

Grazie:)