Matrici simili
Ciao a tutti,
Le 5 matrici da verificare le chiamo B C D E F (in ordine da sinistra a destra).
Vorrei avere una vostra opinione su questo esercizio, secondo i miei conti solamente la matrice B è simile ad A.
Saluti
Le 5 matrici da verificare le chiamo B C D E F (in ordine da sinistra a destra).
Vorrei avere una vostra opinione su questo esercizio, secondo i miei conti solamente la matrice B è simile ad A.
Saluti
Risposte
In rete trovo che per stabilire se due matrici A e B sono simili, basta calcolare la traccia, il determinante e il polinomio caratteristico. Se questi coincidono, allora le matrici A e B sono simili.
$|A|=|B|$
$tr(A)=tr(B)$
$|A-lambda I|=|B-lambda I|$
Ho notato che ci sono casi in cui verificare queste tre condizioni mi porta a conclusioni errate, se sono vere tutte e tre.
Ci sono dei casi dove le tre condizioni sono verificate, ma A e B non sono simili.
Il caso ideale sarebbe trovare una matrice invertibile P (come da definizione) tale che:
$B=P^-1 A \ P$
Come si trova questa matrice P?
Io la calcolo nel seguente modo (ma non sono sicuro sia corretto):
Diagonalizzo la matrice A ponendo gli autovalori sulla diagonale principale, zero altrove.
Calcolo gli autovalori di B e verifico che siano uguali a quelli della matrice A. (se non lo sono, A e B non sono simili. Mi fermo qua.)
Trovo le basi degli autospazi di B e verifico che la somma delle molteplicità geometriche sia uguale ad $n$.
In questo caso $n=3$.
La matrice $P$ la costruisco affiancando ogni vettore colonna delle basi degli autospazi trovati.
Calcolo l'inversa, $P^-1$.
Calcolo $P^-1 B \ P$, se è uguale alla matrice A diagonalizzata, concludo che A e B sono simili.
E' corretto questo procedimento?
Saluti
$|A|=|B|$
$tr(A)=tr(B)$
$|A-lambda I|=|B-lambda I|$
Ho notato che ci sono casi in cui verificare queste tre condizioni mi porta a conclusioni errate, se sono vere tutte e tre.
Ci sono dei casi dove le tre condizioni sono verificate, ma A e B non sono simili.
Il caso ideale sarebbe trovare una matrice invertibile P (come da definizione) tale che:
$B=P^-1 A \ P$
Come si trova questa matrice P?
Io la calcolo nel seguente modo (ma non sono sicuro sia corretto):
Diagonalizzo la matrice A ponendo gli autovalori sulla diagonale principale, zero altrove.
Calcolo gli autovalori di B e verifico che siano uguali a quelli della matrice A. (se non lo sono, A e B non sono simili. Mi fermo qua.)
Trovo le basi degli autospazi di B e verifico che la somma delle molteplicità geometriche sia uguale ad $n$.
In questo caso $n=3$.
La matrice $P$ la costruisco affiancando ogni vettore colonna delle basi degli autospazi trovati.
Calcolo l'inversa, $P^-1$.
Calcolo $P^-1 B \ P$, se è uguale alla matrice A diagonalizzata, concludo che A e B sono simili.
E' corretto questo procedimento?
Saluti
Provo ad esporre un procedimento che di solito impiego io per stabilire se due matrici sono simili (essendo self-made, se qualcuno ha qualche correzione o miglioramento ne sarei molto grato):
-controllo la diagonalizzabilità: se una e diagonalizzabile e l'altra no, non sono simili.
-se sono entrambe diagonalizzabili, esse sono simili se, e solo se, hanno pari autovalori e pari molteplicità (algebrica e geometrica, ma ne basta una essendo esse diagonalizzabili). Questo deriva dal fatto che, per definizione di diagonalizzabilità di una matrice, esse risultano simili alla stessa matrice diagonale avente sulla diagonale gli autovalori, e la similitudine è una relazione di equivalenza.
-se entrambe non sono diagonalizzabili, procedo per la definizione di "similitudine tra matrici", ponendo una matrice C incognita tale che $C^-1AC=B$. Se tale matrice C esiste, A è simile a B (questo purtroppo è rognosetto).
Ciao!
-controllo la diagonalizzabilità: se una e diagonalizzabile e l'altra no, non sono simili.
-se sono entrambe diagonalizzabili, esse sono simili se, e solo se, hanno pari autovalori e pari molteplicità (algebrica e geometrica, ma ne basta una essendo esse diagonalizzabili). Questo deriva dal fatto che, per definizione di diagonalizzabilità di una matrice, esse risultano simili alla stessa matrice diagonale avente sulla diagonale gli autovalori, e la similitudine è una relazione di equivalenza.
-se entrambe non sono diagonalizzabili, procedo per la definizione di "similitudine tra matrici", ponendo una matrice C incognita tale che $C^-1AC=B$. Se tale matrice C esiste, A è simile a B (questo purtroppo è rognosetto).
Ciao!
Ciao GiammarcoP,
(*) Una curiosità, quindi se le due matrici da comparare non sono diagonalizzabili, possono essere simili?
Se A e B non sono diagonalizabili, hai detto che procedi con il calcolare una matrice C tale che $B=C^(−1) AC$.
Ma come la trovi praticamente?
In teoria, posso "cercare" una matrice C per ogni matrice B da comparare con A.
Se trovo una matrice C invertibile tale che $B=C^(−1) AC$, allora posso concludere che A e B sono simili.
Secondo te, quali delle 5 matrici nell'esercizio sono simili ad A?
Sto studiando da solo e non ho le soluzioni, quindi non posso verificare i risultati se non con voi
(*) Una curiosità, quindi se le due matrici da comparare non sono diagonalizzabili, possono essere simili?
Se A e B non sono diagonalizabili, hai detto che procedi con il calcolare una matrice C tale che $B=C^(−1) AC$.
Ma come la trovi praticamente?
In teoria, posso "cercare" una matrice C per ogni matrice B da comparare con A.
Se trovo una matrice C invertibile tale che $B=C^(−1) AC$, allora posso concludere che A e B sono simili.
Secondo te, quali delle 5 matrici nell'esercizio sono simili ad A?
Sto studiando da solo e non ho le soluzioni, quindi non posso verificare i risultati se non con voi
Qualcun altro che dica la sua su questo esercizio?
Ciao,
le matrici simili hanno gli stessi autovalori con la stessa moltiplicità
Quindi escludiamo direttamente la C e la F
Poi scriviamo il polinomio caratteristico delle altre e vediamo quali hanno degli autovalori diversi...
escludiamo quindi la D e la E
L'unica rimasta e' la B, che ha gli stessi autovalori e si può ottenere da A!
Per diagonalizzare A basta prendere sempre gli autospazi e formare una matrice P diagonalizzante...
Metteremo gli autospazi dei relativi autovettori nell'ordine in cui vogliamo che si presentino nella nostra matrice simile B.
le matrici simili hanno gli stessi autovalori con la stessa moltiplicità
Quindi escludiamo direttamente la C e la F
Poi scriviamo il polinomio caratteristico delle altre e vediamo quali hanno degli autovalori diversi...
escludiamo quindi la D e la E
L'unica rimasta e' la B, che ha gli stessi autovalori e si può ottenere da A!
Per diagonalizzare A basta prendere sempre gli autospazi e formare una matrice P diagonalizzante...
Metteremo gli autospazi dei relativi autovettori nell'ordine in cui vogliamo che si presentino nella nostra matrice simile B.
"giampazero":
Ciao,
le matrici simili hanno gli stessi autovalori con la stessa moltiplicità
Quindi escludiamo direttamente la C e la F
Poi scriviamo il polinomio caratteristico delle altre e vediamo quali hanno degli autovalori diversi...
escludiamo quindi la D e la E
L'unica rimasta e' la B, che ha gli stessi autovalori e si può ottenere da A!
Per diagonalizzare A basta prendere sempre gli autospazi e formare una matrice P diagonalizzante...
Metteremo gli autospazi dei relativi autovettori nell'ordine in cui vogliamo che si presentino nella nostra matrice simile B.
Perfetto grazie mille!
Nel caso fosse richiesto, per determinare una matrice P, tale che $B=P^(−1) A \ P$;
dopo aver verificato che gli autovalori di B coincidono con quelli della matrice A, e che sono tutti regolari (quindi le molteplicità geometrica e algebrica coincidono per ogni autovalore), trovo le basi dei vari autospazi determinati e le "affianco" l'una con l'altra per formare la matrice P.
E' corretto questo procedimento?
Sì, la matrice P è quella matrice aventi per colonne autovettori di A.
"GiammarcoP":
Sì, la matrice P è quella matrice aventi per colonne autovettori di A.
Grazie GiammarcoP
Premetto che non ho letto le risposte precedenti.
La A è simile perché basta cambiare base con una matrice di permutazione.
Sicuramente puoi scartare quelle che hanno autovalori distinti perché due matrici simili hanno gli stessi autovalori, poi puoi scartare B e E.
Inoltre sia la tua matrice che la C sono in forma canonica di Jordan, ma hanno un diverso numero di blocchi di Jordan, quindi non sono simili.
Per la D che è triangolare superiore puoi osservare che è diagonalizzabile quindi simile alla tua.
La A è simile perché basta cambiare base con una matrice di permutazione.
Sicuramente puoi scartare quelle che hanno autovalori distinti perché due matrici simili hanno gli stessi autovalori, poi puoi scartare B e E.
Inoltre sia la tua matrice che la C sono in forma canonica di Jordan, ma hanno un diverso numero di blocchi di Jordan, quindi non sono simili.
Per la D che è triangolare superiore puoi osservare che è diagonalizzabile quindi simile alla tua.
"jJjjJ":
Premetto che non ho letto le risposte precedenti.
La A è simile perché basta cambiare base con una matrice di permutazione.
Sicuramente puoi scartare quelle che hanno autovalori distinti perché due matrici simili hanno gli stessi autovalori, poi puoi scartare B e E.
Inoltre sia la tua matrice che la C sono in forma canonica di Jordan, ma hanno un diverso numero di blocchi di Jordan, quindi non sono simili.
Per la D che è triangolare superiore puoi osservare che è diagonalizzabile quindi simile alla tua.
La matrice D che intendi te è la seguente?
$( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Si hai ragione, anche questa è simile ad A perchè trovo gli autovalori regolari e riesco a comporre la matrice P fatta da autovettori, tale che $P^(-1) E \ P=A$
Mi scuso per la precedente risposta!
Non avevo notato che anche $((2,0,0),(0,2,1),(0,0,0))$ ha un gli stessi autovalori di A!
Comunque ti basta verificare che i due polinomi caratteristici siano uguali e hai concluso!
Non avevo notato che anche $((2,0,0),(0,2,1),(0,0,0))$ ha un gli stessi autovalori di A!
Comunque ti basta verificare che i due polinomi caratteristici siano uguali e hai concluso!
"giampazero":
Mi scuso per la precedente risposta!
Non avevo notato che anche $((2,0,0),(0,2,1),(0,0,0))$ ha un gli stessi autovalori di A!
Figurati!
"giampazero":
Comunque ti basta verificare che i due polinomi caratteristici siano uguali e hai concluso!
E' proprio questo che ho cercato di dimostrare, non è detto!
se una matrice $A$ ha lo stesso polinomio caratteristico, stesso determinante e stessa traccia di una matrice $B$, non è detto che $A$ e $B$ sono simili.
Guarda un po' questo esempio che ho trovato in rete:
$A=( ( 3 , 1 , 1 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) \ \ \ \ B=( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) $
Queste due matrici hanno stesso determinante, stessa traccia e stesso polinomio caratteristico, ma non sono simili!
$|A|=|B|=3$
$tr(A)=tr(B)=1$
$P_A(lambda)=P_B(lambda)=(3-x) \ (1+x)^2$
L'autovalore $lambda=-1$ della matrice $B$, non è regolare. La sua molteplicità algebrica è 2 mentre quella geometrica è 1.
Dato che non tutti gli autovalori di $B$ sono regolari, B non è diagonalizzabile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo