Matrici simili
Salve a tutti, se due matrici simili rappresentano la stessa funzione lineare, ma solo quella rispetto alla base canonica restituisce $ f(v) $ applicando $ v $ , allora quando applico $ v $ alla matrice non in base canonica ottengo un vettore, questo ha qualche relazione con $ f(v) $? C'è qualche modo per risalire a $ f(v) $ partendo dal vettore ottenuto dalla matrice non in base canonica?
Risposte
Scusa ma non ho capito la domanda (l'età avanza per tutti ahimè 
).
Stai chiedendo se, data la matrice associata ad una a.l. rispetto ad una base non canonica (che chiamiamo $A$) è possibile ottenere le immagini dei vettori che costituiscono la base $A$?
Se è così, consideriamo due basi $A={v_1, ..., v_n}$ e $B={u_1, ..., u_n}$ sappiamo che per trovare la matrice $M^(A,B)$ dobbiamo calcolare i vari $[f(v_1)]_B = a_1 u_1 + ... + a_n u_n$ e i vari coefficienti $a_1, ..., a_n$ in colonna saranno gli elementi di $M^(A,B)$.
Se noi però abbiamo già la matrice $M^(A,B)$ e le basi ma non abbiamo le immagini, nè tantomeno le equazioni esplicite dell'a.l. per calcolarle, possiamo considerare che $[f(v)]_B=M^(A,B) [v]_A$, cioè ottieni le immagini del vettore di partenza moltiplicando la matrice associata all'a.l. per le componenti del vettore nella base di 'partenza'.
Spero sia tutto chiaro.
).Stai chiedendo se, data la matrice associata ad una a.l. rispetto ad una base non canonica (che chiamiamo $A$) è possibile ottenere le immagini dei vettori che costituiscono la base $A$?
Se è così, consideriamo due basi $A={v_1, ..., v_n}$ e $B={u_1, ..., u_n}$ sappiamo che per trovare la matrice $M^(A,B)$ dobbiamo calcolare i vari $[f(v_1)]_B = a_1 u_1 + ... + a_n u_n$ e i vari coefficienti $a_1, ..., a_n$ in colonna saranno gli elementi di $M^(A,B)$.
Se noi però abbiamo già la matrice $M^(A,B)$ e le basi ma non abbiamo le immagini, nè tantomeno le equazioni esplicite dell'a.l. per calcolarle, possiamo considerare che $[f(v)]_B=M^(A,B) [v]_A$, cioè ottieni le immagini del vettore di partenza moltiplicando la matrice associata all'a.l. per le componenti del vettore nella base di 'partenza'.
Spero sia tutto chiaro.
ecco però l'immagine ottenuta moltiplicando la matrice per $v$ non è $f(v)$ a meno che la matrice non sia rispetto alle basi canoniche giusto?
"Usernamer":
ecco però l'immagine ottenuta moltiplicando la matrice per $v$ non è $f(v)$ a meno che la matrice non sia rispetto alle basi canoniche giusto?
Ottieni $[f(v)]_B$ cioè la funzione f rispetto alla base $B$.
Se tu per $f(v)$ intendi l'immagine rispetto alle basi canoniche, no ma la puoi ottenere semplicemente scrivendo i vettori di B come c.l. dei vettori della base canonica $\epsilon$
l'immagine non dovrebbe essere unica indipendentemente dalle basi? cioè se $f$ è che so $ 2x+y+z=0 $ se io faccio la matrice di questa funzione, e la calcolo in $ (x,y,z) $ l'immagine che ottengo corrisponde esattamente a $ f(x,y,z) $ solo se la matrice è rispetto le basi canoniche altrimenti ottengo un vettore differente no? quindi una matrice a base non canonica non restituisce l'immagine della funzione o sbaglio?
"Usernamer":
l'immagine non dovrebbe essere unica indipendentemente dalle basi? cioè se $f$ è che so $ 2x+y+z=0 $ se io faccio la matrice di questa funzione, e la calcolo in $ (x,y,z) $ l'immagine che ottengo corrisponde esattamente a $ f(x,y,z) $ solo se la matrice è rispetto le basi canoniche altrimenti ottengo un vettore differente no? quindi una matrice a base non canonica non restituisce l'immagine della funzione o sbaglio?
Andiamo un attimo indietro nel discorso per evitare confusione.
Per calcolare l'immagine di una a.l., quando non abbiamo definite le equazioni esplicite, abbiamo una matrice associata alla a.l. rispetto ad una data base.
Quando bisogna trovare una immagine si scelgono le colonne di questa matrice e si vede quale di queste sono l.i. al fine di estrarre una base dell'immagine.
Chiaramente l'immagine in sè è indipendente alla scelta della base.
ok ma allora per come hai scritto te, dopo che abbiamo estratto questa base dell'immagine come otteniamo l'immagine effettiva della funzione (che non corrisponde con il vettore restituito dalla matrice che non è rispetto le basi canoniche)?
Il vettore restituito da tale matrice sono i coefficienti che moltiplicati per la base danno l'immagine effettiva della funzione? Se non è così che legame c'è tra il vettore restituito da una tale matrice e l'effettiva immagine della funzione che si vuole trovare?
Il vettore restituito da tale matrice sono i coefficienti che moltiplicati per la base danno l'immagine effettiva della funzione? Se non è così che legame c'è tra il vettore restituito da una tale matrice e l'effettiva immagine della funzione che si vuole trovare?
"Usernamer":
Dopo che abbiamo estratto questa base dell'immagine come otteniamo l'immagine effettiva della funzione?
Generalmente negli esercizi che ho analizzato io bastava dire i vettori che generavano l'immagine, quindi quello che ti ho appena detto.
Per il resto ti rimando al testo o agli appunti del tuo docente così puoi chiarire meglio questi dubbi.
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