Matrici simili

[Shika93]

Date 2 matrici A e B per verificare se sono simili mi basta vedere che abbiano lo stesso polinomio caratteristico (condizione necessaria ma non sufficiente) e per stare sicuro che siano anche diagonalizzabili? Cioè andando a vedere se la somma della molteplicità geometrica di A e B sia uguale alla dimensione dello spazio in cui sono descritte? Per esempio entrambe quadrate 3x3 la somma deve essere 3

O devo andare a vedere altre caratteristiche?

[Cuspide83]

Le matrici simili oltre al polinomio caratteristico che come hai scritto è una condizione necessaria ma non sufficiente (ovvero puoi avere matrici con stesso polinomio caratteristico che non sono simili), hanno stesso rango stesso determinante e stessa traccia.

[Gi81]

Siano $A$ e $B$ matrici quadrate diagonalizzabili e con lo stesso polinomio caratteristico.

Allora $A= P^-1 D P$ e $B=Q^-1 DQ$ con $P$ e $Q$ matrici invertibili
(e $D$ è la matrice diagonale, che è la stessa per $A$ e per $B$).
Allora $P A P^-1= D= Q B Q^-1=>A= P^-1 QBQ^-1 P=> A= (Q^-1 *P)^-1 *B *(Q^-1 *P)$
Ponendo $C= Q^-1*P$, che è una matrice invertibile dato che $Q$ e $P$ lo sono,
si ottiene $A= C^-1 B C$, cioè $A$ e $B$ sono simili.

[Shika93]

Si, la definizione matematica ce l'ho pure io. Volevo capire nella pratica cosa dovevo fare dato che non ho mai visto applicare quella formula per vedere se erano simili.

"Cuspide83":Le matrici simili oltre al polinomio caratteristico che come hai scritto è una condizione necessaria ma non sufficiente (ovvero puoi avere matrici con stesso polinomio caratteristico che non sono simili), hanno stesso rango stesso determinante e stessa traccia.

Questo già mi è un po' più chiaro.

Grazie a entrambi!

[Shika93]

Se due matrici hanno il polinomio caratteristico diverso si può dire che non sono simili a priori? O vale sempre la condizione necessaria non sufficiente?