Matrici simili

[Filippo931]

Buonasera ragazzi, vi scrivo in quanto ho un problema con un esercizio, precisamente il punto d) dell'esercizio 1, nel quale bisogna determinare gli alfa per cui la matrice sia simile a una data. Il problema è che non riesco a capire il modo con cui si dovrebbe ragionare per risolvere questo esercizio. http://www.math.unipd.it/~cantarin/dida ... 6-2010.pdf
Allego qui sopra il link in cui trovare l'esercizio.
Vi ringrazio veramente tanto. Saluti

[Filippo931]

Ripropongo la mia domanda, nel caso qualche gentile anima avesse la voglia di rispondermi saluti

[Sk_Anonymous]

Conosci la teoria di Jordan?
In ogni caso puoi iniziare ad osservare che determinante e traccia sono invarianti per similitudine. Prova a vedere cosa ne esce (secondo me in questo modo si escludono già quasi tutti i casi).

[Sk_Anonymous]

Per quello che so, la condizione necessaria e sufficiente affinché due matrici A,B $n times n$ siano simili è che "abbiano lo stesso polinomio caratteristico ( e quindi i medesimi autovalori $lambda_1,lambda_2,...lambda_n)$ e che per ogni $lambda_i$ le matrici $A-lambda_i I_n,B-lambda_i I_n$ abbiano uguale rango"
Nel nostro caso un facile calcolo mostra che la matrice $A_{alpha}$ ha due autovalori :
$lambda_1=alpha,lambda_2=alpha^2$
ciascuno di molteplicità 2
Mentre l'altra matrice ( che chiamo B) ha un solo autovalore $lambda=1$ di molteplicità 4.
Pertanto per soddisfare la prima condizione di cui prima basterà prendere $alpha=1$
Per tale valore si vede che le due matrici $A_{alpha}-I_n,B-I_n$ hanno lo stesso rango=1 e quindi è soddisfatta anche la seconda condizione. Pertanto deve essere $alpha=1$, salvo miei errori...