Matrici semidefinite positive, quesito banale

[Raphael1]

Devo dimostrare che date due matrici $n*n$ semidefinite positive $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ si ha che $\sum_{ij}a_{ij}b_{ij}>=0$

Ora io so che $x^{t}Ax>=0$ per ogni $x \in \mathbb{R}^n$ e $x^{t}Bx>=0$ per ogni $x \in \mathbb{R}^n$ quindi potrei dire $x^{t}Axy^{t}By>=0$ per ogni $x,y \in \mathbb{R}^n$ giusto? quindi ora mi era venuto in mente di scegliere un $x$ e un $y$ per arrivare alla tesi, ma non riesco a capire quali dovrei scegliere, mi aiutate per piacere?

Grazie mille

[miuemia]

ma sono simmetriche queste matrici?

[Raphael1]

sí!

[miuemia]

beh allora sai che in $A$ la puoi scrivere in forma diagonale dove gli elementti sulla diagonale saranno gli autovalori positivi non nulli e una serie di zeri dipende dalla segnatura. e stassa cosa per B.... e allora moltiplicando le due matrici diagonali simili ad A e B rispettivamente ottieni una matrice diagonale con elementi sulla diagonale maggiori o uguali a zero. non possono essere nulli poicheè per ipotesi A e B sono semi definite positive.