Matrici rispetto al prodotto scalare
Salve,
Ho questi due esercizi.. potete spiegarmeli bene bene per filo e per segno (perchè su questo argomento non so proprio niente), senza dar per scontato niente? grazie mille!
1- In R^4 si considerino i vettori: w1=(2,1,0,1) , w2=(-1,2,1,3) , w3=(-4,3,2,5)
a) Scrivere un sistema di equazioni cartesiane per il sottospazio " generato da w1,w2,w3.
b) Trovare una base per lo spazio ortogonale a W, rispetto al prodotto scalare standard di R^4.
2- Sia V=R1[t] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 1 con coefficienti reali. Si consideri il prodotto scalare g: V x V ---> R definito da
g(a0+a1t , b0+b1t) = 2a0b0+a0b1+a1b0+a1b1 ,
per ogni coppia di polinomi a0+ta1 , b0+b1t appartenenti a V.
a) Determinare la matrice che rappresenta g rispetto alla base (1,t) di V.
b) Determinare una base ortonormale di V, rispetto al prodotto scalare g.
Sono due esercizi d'esame, se riuscite commentate anche lo svolgimento.. Grazie Mille!
Ho questi due esercizi.. potete spiegarmeli bene bene per filo e per segno (perchè su questo argomento non so proprio niente), senza dar per scontato niente? grazie mille!
1- In R^4 si considerino i vettori: w1=(2,1,0,1) , w2=(-1,2,1,3) , w3=(-4,3,2,5)
a) Scrivere un sistema di equazioni cartesiane per il sottospazio " generato da w1,w2,w3.
b) Trovare una base per lo spazio ortogonale a W, rispetto al prodotto scalare standard di R^4.
2- Sia V=R1[t] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 1 con coefficienti reali. Si consideri il prodotto scalare g: V x V ---> R definito da
g(a0+a1t , b0+b1t) = 2a0b0+a0b1+a1b0+a1b1 ,
per ogni coppia di polinomi a0+ta1 , b0+b1t appartenenti a V.
a) Determinare la matrice che rappresenta g rispetto alla base (1,t) di V.
b) Determinare una base ortonormale di V, rispetto al prodotto scalare g.
Sono due esercizi d'esame, se riuscite commentate anche lo svolgimento.. Grazie Mille!
Risposte
Benvenuto sul forum.
La prima cosa da fare è leggere il regolamento, dove troverai che per essere aiutato è necessario che tu posti un tuo tentativo di risoluzione per ciascun esercizio.
La prima cosa da fare è leggere il regolamento, dove troverai che per essere aiutato è necessario che tu posti un tuo tentativo di risoluzione per ciascun esercizio.
Grazie, scusate ma ho fatto di fretta!
Veramente sono un po' nel pallone più assoluto e nella risoluzione sono arrivato soltanto a scrivere il sistema di equazioni del primo. Alla matrice generata dai vettori w1,w2,w3 ho associato le mie incognite x y z w e dal sistema ricavo le mie equazioni.
Invece per trovare W ortogonale proprio non so come iniziare, se non dalla definizione che però poco mi aiuta..
Il secondo esercizio invece mi mette molto in difficoltà e anche leggendo la teoria non riesco a risolverlo..
Se poteste aiutarmi mi fareste un enorme piacere, Grazie ancora!
Veramente sono un po' nel pallone più assoluto e nella risoluzione sono arrivato soltanto a scrivere il sistema di equazioni del primo. Alla matrice generata dai vettori w1,w2,w3 ho associato le mie incognite x y z w e dal sistema ricavo le mie equazioni.
Invece per trovare W ortogonale proprio non so come iniziare, se non dalla definizione che però poco mi aiuta..
Il secondo esercizio invece mi mette molto in difficoltà e anche leggendo la teoria non riesco a risolverlo..
Se poteste aiutarmi mi fareste un enorme piacere, Grazie ancora!
Presumo che W sia il sottospazio generato da $w_1,w_2,w_3$. Se è così allora procedo, altrimenti "nisba" ( 
)
Per il primo quesito punto (a), non conosco il tuo metodo ma io avrei fatto come segue.
a) Scrivo questa matrice ( indicando con $((x),(y),(z),(t))$ il generico vettore di $mathbb{R}^4)$ :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2&1&0&1\\-1&2&1&3\\-4&3&2&5\\x&y&z&t \end {pmatrix} \)
Riduco a scala la matrice ed ho :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2&1&0&1\\0&5&2&7\\0&0&0&0\\0&0&2x-4y+10z&2x-14y+10t \end {pmatrix} \)
Pertanto il sistema di equazioni richiesto è il seguente :
\(\displaystyle \begin{cases}x-2y+5z=0\\x-7y+5t=0\end{cases} \)
che si ottiene ponendo a zero i termini non nulli della quarta riga della matrice così ridotta.
E' facile verificare che i vettori $w_1,w_2,w_3$ sono effettivamente soluzioni di detto sistema.
Punto (b)
Osservo dapprima che la matrice che ha per righe i vettori $w_1,w_2,w_3$ ha rango 2 in quanto la sua terza riga è combinazione lineare delle prime due ( come puoi verificare...). Pertanto una base dello spazio-righe di detta matrice è data da ${w_1,w_2}$. Allora , indicando con $w=((x),(y),(z),(t))$ il generico vettore di $mathbb{R}^4$ appartenente allo spazio ortogonale a W che si chiede e col punto "$\cdot$" il prodotto scalare standard in $mathbb{R^4}$, deve aversi :
\(\displaystyle \begin{cases}w \cdot w_1=0\\w \cdot w_2=0\end{cases} \)
Ovvero :
\(\displaystyle \begin{cases}2x+y+t=0\\-x+2y+z+3t=0\end{cases} \)
Una soluzione di tale sistema è :
$(1,0,7,-2),(0,1,1,-1)$ e quindi una base dello spazio ortogonale a W è data proprio dall'insieme di questi due vettori.
Il quesito (2) a più tardi... se riesco a sopravvivere al LaTeX ( "du palle", come diceva il divertentissimo Massimo Lopez in una sua gag pubblicitaria ) !
)Per il primo quesito punto (a), non conosco il tuo metodo ma io avrei fatto come segue.
a) Scrivo questa matrice ( indicando con $((x),(y),(z),(t))$ il generico vettore di $mathbb{R}^4)$ :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2&1&0&1\\-1&2&1&3\\-4&3&2&5\\x&y&z&t \end {pmatrix} \)
Riduco a scala la matrice ed ho :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2&1&0&1\\0&5&2&7\\0&0&0&0\\0&0&2x-4y+10z&2x-14y+10t \end {pmatrix} \)
Pertanto il sistema di equazioni richiesto è il seguente :
\(\displaystyle \begin{cases}x-2y+5z=0\\x-7y+5t=0\end{cases} \)
che si ottiene ponendo a zero i termini non nulli della quarta riga della matrice così ridotta.
E' facile verificare che i vettori $w_1,w_2,w_3$ sono effettivamente soluzioni di detto sistema.
Punto (b)
Osservo dapprima che la matrice che ha per righe i vettori $w_1,w_2,w_3$ ha rango 2 in quanto la sua terza riga è combinazione lineare delle prime due ( come puoi verificare...). Pertanto una base dello spazio-righe di detta matrice è data da ${w_1,w_2}$. Allora , indicando con $w=((x),(y),(z),(t))$ il generico vettore di $mathbb{R}^4$ appartenente allo spazio ortogonale a W che si chiede e col punto "$\cdot$" il prodotto scalare standard in $mathbb{R^4}$, deve aversi :
\(\displaystyle \begin{cases}w \cdot w_1=0\\w \cdot w_2=0\end{cases} \)
Ovvero :
\(\displaystyle \begin{cases}2x+y+t=0\\-x+2y+z+3t=0\end{cases} \)
Una soluzione di tale sistema è :
$(1,0,7,-2),(0,1,1,-1)$ e quindi una base dello spazio ortogonale a W è data proprio dall'insieme di questi due vettori.
Il quesito (2) a più tardi... se riesco a sopravvivere al LaTeX ( "du palle", come diceva il divertentissimo Massimo Lopez in una sua gag pubblicitaria
) !
Grazie mille, mi sei stato molto utile!
Se riesci davvero a postare anche il secondo esercizio spiegato così bene ti invito a Parma e ti offro una Birra!
Se riesci davvero a postare anche il secondo esercizio spiegato così bene ti invito a Parma e ti offro una Birra!
Quesito 2
Punto (a)
Esplicitando la base (1,t) data, vedo che essa si compone dei due polinomi :
$v_1=1+0t,v_2=0+1t$
in cui risulta: $a_o=1,a_1=0,b_o=0,b_1=1$
Per ottenere gli elementi $m_{i,j}$ della matrice M richiesta, devo calcolare, tramite il prodotto scalare g assegnato, i seguenti valori:
$m_{1,1}=g(v_1,v_1)=g(1+0t,1+0t)=2(1 cdot 1)+(1 cdot 0)+(0 cdot 1)+(0 cdot 0)=2$
$m_{1,2}=g(v_1,v_2)=g(1+0t,0+1t)=2(1 cdot 0)+(1 cdot 1)+(0 cdot 0)+(0 cdot 1)=1$
$m_{2,1}=g(v_2,v_1)=g(0+1t,1+0t)=2(0 cdot 1)+(0 cdot 0)+(1 cdot 1)+(1 cdot 0)=1$
$m_{2,2}=g(v_2,v_2)=g(0+1t,0+1t)=2(0 cdot 0)+(0 cdot 1)+(1 cdot 0)+(1 cdot 1)=1$
Pertanto la matrice M voluta è :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}m_{1,1}&m_{1,2}\\m_{2,1}&m_{2,2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \)
Punto (b)
Per calcolare la base ortonormale richiesta serve il noto procedimento di Gram-Schmidt. Nel caso presente tale procedimento è reso complicato dal fatto che il prodotto scalare g non è quello standard e ciò influisce
sui calcoli.
Allora indico la base ortonormale con $(u_1,u_2)$ ed in base a Gram-Schmidt inizio a calcolare $u_1$ (tenendo presente i calcoli già fatti su gli $m_{i,j}$) :
$u_1=v_1/{||v_1||}=(1+0t)/{sqrt{g(v_1,v_1)}}=(1+0t)/{sqrt2} = sqrt2/2+0t $
Per calcolare $u_2$, mi trovo dapprima il vettore w dato da :
$w=v_2-g(v_2,u_1)u_1=(0+1t)-g(0+1t, sqrt2/2+0t )(sqrt2/2+0t ) $
Ovvero :
$w=(0+1t)-sqrt2/2(sqrt2/2+0t)=( -1/2+1t ) $
calcolo la norma di w:
$||w||=sqrt{g(w,w)}=sqrt{g(-1/2+1t,-1/2+1t) }=sqrt(1/2-1/2-1/2+1)=1/{sqrt2}$
pertanto :
$u_2=w/{||w||}=(-1/2+1t)/{1/{sqrt2}}=(-sqrt2/2+sqrt2 t)$
In conclusione la base ortonormale richiesta è data da :
${u_1,u_2}={sqrt2/2+0t,-sqrt2/2+sqrt2 t}$
Metti la birra in fresco, dopo questa faticaccia...
Punto (a)
Esplicitando la base (1,t) data, vedo che essa si compone dei due polinomi :
$v_1=1+0t,v_2=0+1t$
in cui risulta: $a_o=1,a_1=0,b_o=0,b_1=1$
Per ottenere gli elementi $m_{i,j}$ della matrice M richiesta, devo calcolare, tramite il prodotto scalare g assegnato, i seguenti valori:
$m_{1,1}=g(v_1,v_1)=g(1+0t,1+0t)=2(1 cdot 1)+(1 cdot 0)+(0 cdot 1)+(0 cdot 0)=2$
$m_{1,2}=g(v_1,v_2)=g(1+0t,0+1t)=2(1 cdot 0)+(1 cdot 1)+(0 cdot 0)+(0 cdot 1)=1$
$m_{2,1}=g(v_2,v_1)=g(0+1t,1+0t)=2(0 cdot 1)+(0 cdot 0)+(1 cdot 1)+(1 cdot 0)=1$
$m_{2,2}=g(v_2,v_2)=g(0+1t,0+1t)=2(0 cdot 0)+(0 cdot 1)+(1 cdot 0)+(1 cdot 1)=1$
Pertanto la matrice M voluta è :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}m_{1,1}&m_{1,2}\\m_{2,1}&m_{2,2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \)
Punto (b)
Per calcolare la base ortonormale richiesta serve il noto procedimento di Gram-Schmidt. Nel caso presente tale procedimento è reso complicato dal fatto che il prodotto scalare g non è quello standard e ciò influisce
sui calcoli.
Allora indico la base ortonormale con $(u_1,u_2)$ ed in base a Gram-Schmidt inizio a calcolare $u_1$ (tenendo presente i calcoli già fatti su gli $m_{i,j}$) :
$u_1=v_1/{||v_1||}=(1+0t)/{sqrt{g(v_1,v_1)}}=(1+0t)/{sqrt2} = sqrt2/2+0t $
Per calcolare $u_2$, mi trovo dapprima il vettore w dato da :
$w=v_2-g(v_2,u_1)u_1=(0+1t)-g(0+1t, sqrt2/2+0t )(sqrt2/2+0t ) $
Ovvero :
$w=(0+1t)-sqrt2/2(sqrt2/2+0t)=( -1/2+1t ) $
calcolo la norma di w:
$||w||=sqrt{g(w,w)}=sqrt{g(-1/2+1t,-1/2+1t) }=sqrt(1/2-1/2-1/2+1)=1/{sqrt2}$
pertanto :
$u_2=w/{||w||}=(-1/2+1t)/{1/{sqrt2}}=(-sqrt2/2+sqrt2 t)$
In conclusione la base ortonormale richiesta è data da :
${u_1,u_2}={sqrt2/2+0t,-sqrt2/2+sqrt2 t}$
Metti la birra in fresco, dopo questa faticaccia...
Grazie mille CiroMario!
Sei stato utilissimo, spero un giorno di potermi sdebitare!
Andrea
Sei stato utilissimo, spero un giorno di potermi sdebitare!
Andrea
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