Matrici: Righe, Colonne e Combinazione Lineare
Quando Righe o Colonne di una Matrice si dicono Combinazione Lineare di tutte le altre Righe o Colonne della Matrice stessa?
Esempio:
0 1 -1 -2
2 -1 2 -3
1 4 -3 2
-5 0 2 1
Stando a quanto scritto nel mio libro di testo, la Seconda Colonna della Matrice in questione è combinazione lineare di tutte le altre colonne. Pertanto la Seconda Colonna viene sommata alla Terza Colonna, in quanto:
"Sommando ad una riga o colonna di una matrice una combinazione lineare di altre righe o colonne il determinante non cambia".
A questo punto, dato che sono alle "prime armi" con l'Algebra lineare, vorrei capire perché, in questo caso, la Seconda Colonna della Matrice riportata in esempio, è Combinazione Lineare di tutte le altre.
Grazie
Esempio:
0 1 -1 -2
2 -1 2 -3
1 4 -3 2
-5 0 2 1
Stando a quanto scritto nel mio libro di testo, la Seconda Colonna della Matrice in questione è combinazione lineare di tutte le altre colonne. Pertanto la Seconda Colonna viene sommata alla Terza Colonna, in quanto:
"Sommando ad una riga o colonna di una matrice una combinazione lineare di altre righe o colonne il determinante non cambia".
A questo punto, dato che sono alle "prime armi" con l'Algebra lineare, vorrei capire perché, in questo caso, la Seconda Colonna della Matrice riportata in esempio, è Combinazione Lineare di tutte le altre.
Grazie
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum,
il fatto che la seconda colonna sia C.L. delle altre significa che esiste una terna di valori $a, b, c$ tali che \[
a \begin{bmatrix}0\\2\\1\\-5\end{bmatrix} + b \begin{bmatrix}-1\\2\\-3\\2\end{bmatrix} + c \begin{bmatrix}-2\\-3\\2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}
\] Per trovare i valori di $a,b,c$ puoi risolvere il sistema in queste tre incognite.
In ogni caso, vedere che una colonna è C.L. delle altre può essere immediato o anche molto complesso: soprattutto se i coefficienti hanno valori "un po' brutti" come frazioni, ecc. diventa molto difficile dire "al volo" se una colonna può essere ottenuta da una combinazione delle altre. Quindi si applica un procedimento detto "riduzione di Gauss" o "riduzione a gradini" o "riduzione a forma triangolare", che ti permette di identificare immediatamente quali colonne sono linearmente indipendenti e quali no. Questa operazione è poi strettamente collegata al calcolo del rango di una matrice.
il fatto che la seconda colonna sia C.L. delle altre significa che esiste una terna di valori $a, b, c$ tali che \[
a \begin{bmatrix}0\\2\\1\\-5\end{bmatrix} + b \begin{bmatrix}-1\\2\\-3\\2\end{bmatrix} + c \begin{bmatrix}-2\\-3\\2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}
\] Per trovare i valori di $a,b,c$ puoi risolvere il sistema in queste tre incognite.
In ogni caso, vedere che una colonna è C.L. delle altre può essere immediato o anche molto complesso: soprattutto se i coefficienti hanno valori "un po' brutti" come frazioni, ecc. diventa molto difficile dire "al volo" se una colonna può essere ottenuta da una combinazione delle altre. Quindi si applica un procedimento detto "riduzione di Gauss" o "riduzione a gradini" o "riduzione a forma triangolare", che ti permette di identificare immediatamente quali colonne sono linearmente indipendenti e quali no. Questa operazione è poi strettamente collegata al calcolo del rango di una matrice.
Minomic, ti ringrazio per la risposta, ma vorrei capire come individuare righe o colonne che possono essere scritte come combinazioni lineari di altre righe (colonne), a "colpo d'occhio". Ad esempio, nella matrice che ho riportato nel post precedente, avrei potuto individuare la combinazione lineare di altre righe o colonne a colpo d'occhio?!? Se si, come?!?..
Non è affatto scontato... Ad esempio se prendi la matrice \[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 5 \\
1 & 4 & 5
\end{bmatrix}
\] è abbastanza facile vedere che la terza colonna è data dalla somma delle prime due. Questo è ovviamente un esempio molto semplice... Ad esempio sai dire che relazione c'è tra le colonne di questa matrice? \[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
5 & 7 & 9 \\
2 & 8 & 14
\end{bmatrix}
\]
In conclusione, a volte è abbastanza semplice, ma comunque non è scontato. In ogni caso, esiste ovviamente un processo matematico che, anche se più lungo, ti fornisce sempre la soluzione corretta (anche nel caso i coefficienti siano "brutti").
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 5 \\
1 & 4 & 5
\end{bmatrix}
\] è abbastanza facile vedere che la terza colonna è data dalla somma delle prime due. Questo è ovviamente un esempio molto semplice... Ad esempio sai dire che relazione c'è tra le colonne di questa matrice? \[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
5 & 7 & 9 \\
2 & 8 & 14
\end{bmatrix}
\]
In conclusione, a volte è abbastanza semplice, ma comunque non è scontato. In ogni caso, esiste ovviamente un processo matematico che, anche se più lungo, ti fornisce sempre la soluzione corretta (anche nel caso i coefficienti siano "brutti").
Bene minomic, il concetto è più o meno chiaro. A questo punto però, mi sorge un dubbio!!!..
Ogniqualvolta debba applicare la seguente proprietà: "Sommando ad una riga o colonna di una matrice una combinazione lineare di altre righe o colonne il determinante non cambia", al fine di accelerare il calcolo del determinante di una matrice, sviluppandolo da quella riga o colonna costituita da un solo elemento non nullo,
dovrei dunque verificare il rapporto di indipendenza o dipendenza lineare eventualmente presente tra le righe (colonne) della matrice e di conseguenza, ricorrere al metodo di risoluzione di Gauss del sistema lineare omogeneo, nel caso in cui, non riesca ad individuare la combinazione lineare a "colpo d'occhio", giusto?
In ogni caso il mio tentativo di risolvere il sistema omogeneo della Matrice scritta nel mio primo post, mediante metodo di Gauss, si è rivelato fallimentare!!!
Potresti eseguire la risoluzione del Sistema di quella Matrice, mediante Gauss, in modo tale da mostrarmi i coefficienti della combinazione lineare delle colonne di quella stessa Matrice? Detto questo, avrei un altro quesito da porti: se all'interno di una matrice vi è un rapporto di dipendenza lineare tra le sue righe(colonne), ciò significa che il suo determinante è pari a zero. Dunque perché applichiamo la proprietà summenzionata, se sappiamo che il determinante della matrice in questione sarà comunque pari a zero per via della dipendenza lineare? Forse il fatto che le righe(colonne) di una matrice siano linearmente dipendenti non costituisce condizione necessaria per applicare tale proprietà?
Grazie per la disponibilità!!!!..
Ogniqualvolta debba applicare la seguente proprietà: "Sommando ad una riga o colonna di una matrice una combinazione lineare di altre righe o colonne il determinante non cambia", al fine di accelerare il calcolo del determinante di una matrice, sviluppandolo da quella riga o colonna costituita da un solo elemento non nullo,
dovrei dunque verificare il rapporto di indipendenza o dipendenza lineare eventualmente presente tra le righe (colonne) della matrice e di conseguenza, ricorrere al metodo di risoluzione di Gauss del sistema lineare omogeneo, nel caso in cui, non riesca ad individuare la combinazione lineare a "colpo d'occhio", giusto?
In ogni caso il mio tentativo di risolvere il sistema omogeneo della Matrice scritta nel mio primo post, mediante metodo di Gauss, si è rivelato fallimentare!!!
Potresti eseguire la risoluzione del Sistema di quella Matrice, mediante Gauss, in modo tale da mostrarmi i coefficienti della combinazione lineare delle colonne di quella stessa Matrice? Detto questo, avrei un altro quesito da porti: se all'interno di una matrice vi è un rapporto di dipendenza lineare tra le sue righe(colonne), ciò significa che il suo determinante è pari a zero. Dunque perché applichiamo la proprietà summenzionata, se sappiamo che il determinante della matrice in questione sarà comunque pari a zero per via della dipendenza lineare? Forse il fatto che le righe(colonne) di una matrice siano linearmente dipendenti non costituisce condizione necessaria per applicare tale proprietà?
Grazie per la disponibilità!!!!..
Qualsiasi matrice presa applicando le 3 operazioni elementari (scambio tra righe, moltiplicare una riga per uno scalare non nullo, sommare alla riga i-esima la riga j-esima moltiplicata per uno scalare) ottieni una matrice equivalente.
Queste operazioni vengono anche effettuate nell'algoritmo di Gauss per ridurre la matrice a scala, e una volta che hai una matrice a scala per calcolare il suo determinante ti basta fare la moltiplicazione degli elementi sulla diagonale principale.
Se $A$ è la matrice di partenza ed $S$ è la matrice a scala associata ad A trovi facilmente il determinante di $A$ sapendo che $det (A) = -1^n det(S) $ con $n$= numero di scambi di riga effettuati nell'algoritmo di Gauss
Chiaramente le operazioni elementari le puoi applicare anche se nella matrice considerata non ci sono righe linearmente dipendenti tra loro; il fatto che in una matrice con righe linearmente dipendenti il determinante sia 0 deriva dal fatto che riducendo la matrice a scala con Gauss le righe linearmente dipendenti si annullano e allora annullano anche il determinante (che come ho detto prima è dato dal prodotto degli elementi sulla diagonale principale).
Tornando alla matrice che hai messo nel primo post:
Io farei alcuni scambi di riga portando la matrice così e poi la ridurrei a scala
$ ( (1,4,-3,2),(2,-1,2,3),(-5,0,2,1),(0,1,-1,-2) ) $
Forse non ho centrato appieno la domanda, ma ho fatto un sunto di un po' di cose
Per ridurla a scala ora farei queste operazioni:
$H21 (-2)$ -> che significa moltiplicare la 2° riga per la 1° riga moltiplicata per lo scalare -2
$H31 (5)$ -> moltiplicare la 3° riga per la 1° riga moltiplicata per lo scalare 5
E così via (non è che vengano calcoli troppo belli, magari potresti partire da un esempio più semplice per capire il concetto)
Queste operazioni vengono anche effettuate nell'algoritmo di Gauss per ridurre la matrice a scala, e una volta che hai una matrice a scala per calcolare il suo determinante ti basta fare la moltiplicazione degli elementi sulla diagonale principale.
Se $A$ è la matrice di partenza ed $S$ è la matrice a scala associata ad A trovi facilmente il determinante di $A$ sapendo che $det (A) = -1^n det(S) $ con $n$= numero di scambi di riga effettuati nell'algoritmo di Gauss
Chiaramente le operazioni elementari le puoi applicare anche se nella matrice considerata non ci sono righe linearmente dipendenti tra loro; il fatto che in una matrice con righe linearmente dipendenti il determinante sia 0 deriva dal fatto che riducendo la matrice a scala con Gauss le righe linearmente dipendenti si annullano e allora annullano anche il determinante (che come ho detto prima è dato dal prodotto degli elementi sulla diagonale principale).
Tornando alla matrice che hai messo nel primo post:
Io farei alcuni scambi di riga portando la matrice così e poi la ridurrei a scala
$ ( (1,4,-3,2),(2,-1,2,3),(-5,0,2,1),(0,1,-1,-2) ) $
Forse non ho centrato appieno la domanda, ma ho fatto un sunto di un po' di cose
Per ridurla a scala ora farei queste operazioni:
$H21 (-2)$ -> che significa moltiplicare la 2° riga per la 1° riga moltiplicata per lo scalare -2
$H31 (5)$ -> moltiplicare la 3° riga per la 1° riga moltiplicata per lo scalare 5
E così via (non è che vengano calcoli troppo belli, magari potresti partire da un esempio più semplice per capire il concetto)
"WeP":
Qualsiasi matrice presa applicando le 3 operazioni elementari (scambio tra righe, moltiplicare una riga per uno scalare non nullo, sommare alla riga i-esima la riga j-esima moltiplicata per uno scalare) ottieni una matrice equivalente.
Queste operazioni vengono anche effettuate nell'algoritmo di Gauss per ridurre la matrice a scala, e una volta che hai una matrice a scala per calcolare il suo determinante ti basta fare la moltiplicazione degli elementi sulla diagonale principale.
Se $A$ è la matrice di partenza ed $S$ è la matrice a scala associata ad A trovi facilmente il determinante di $A$ sapendo che $det (A) = -1^n det(S) $ con $n$= numero di scambi di riga effettuati nell'algoritmo di Gauss
Chiaramente le operazioni elementari le puoi applicare anche se nella matrice considerata non ci sono righe linearmente dipendenti tra loro; il fatto che in una matrice con righe linearmente dipendenti il determinante sia 0 deriva dal fatto che riducendo la matrice a scala con Gauss le righe linearmente dipendenti si annullano e allora annullano anche il determinante (che come ho detto prima è dato dal prodotto degli elementi sulla diagonale principale).
Tornando alla matrice che hai messo nel primo post:
Io farei alcuni scambi di riga portando la matrice così e poi la ridurrei a scala
$ ( (1,4,-3,2),(2,-1,2,3),(-5,0,2,1),(0,1,-1,-2) ) $
Forse non ho centrato appieno la domanda, ma ho fatto un sunto di un po' di cose
Per ridurla a scala ora farei queste operazioni:
$H21 (-2)$ -> che significa moltiplicare la 2° riga per la 1° riga moltiplicata per lo scalare -2
$H31 (5)$ -> moltiplicare la 3° riga per la 1° riga moltiplicata per lo scalare 5
E così via (non è che vengano calcoli troppo belli, magari potresti partire da un esempio più semplice per capire il concetto)
Bene Wep, dunque stando a quanto affermi, le matrici riportate di seguito
$ ((3,0,8),(5,0,7),(-1,4,2)) $ ; $ ((3,0,0),(5,0,-19),(-1,4,14)) $
sono equivalenti? Preciso che la Seconda Matrice è stata ottenuta sottraendo dalla Prima Colonna (moltiplicata per 8), la Terza Colonna (moltiplicata per 3) della Prima Matrice.
Si sono equivalenti
"WeP":
Si sono equivalenti
Allora perché i determinanti delle Matrici in questione, sono differenti?!?..
Non sempre i determinanti di due matrici equivalenti sono uguali
Comunque queste sono tutte cose scritte in qualsiasi libro di testo, magari prova a leggerti bene il tuo libro perchè sono sicuro che ci siano scritte
Comunque queste sono tutte cose scritte in qualsiasi libro di testo, magari prova a leggerti bene il tuo libro perchè sono sicuro che ci siano scritte
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