Matrici quadrate di ordine 2
Salve, premetto che sono nuovo del forum.
vengo al punto:
Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 e rango 1 non formano un
sottospazio.
non capisco perchè non possano formare un sottospazio infatti, poniamo che l'unico vettore riga della matrice abbia coordinate (1,1) e abbiamo che:
i) per x=y=0 esiste l'elemento nullo del sottospazio
ii) dati due vettori v e w del sottospazio, il vettore r=v+w appartiene al sottospazio
iii) il prodotto in uno scalare 'a' per un vettore v del sottospazio appartiene ankora al sottospazio
dunque potremmo dover definire un sottospazio U = span{(1,1)}
cosa sbaglio in questo????
vengo al punto:
Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 e rango 1 non formano un
sottospazio.
non capisco perchè non possano formare un sottospazio infatti, poniamo che l'unico vettore riga della matrice abbia coordinate (1,1) e abbiamo che:
i) per x=y=0 esiste l'elemento nullo del sottospazio
ii) dati due vettori v e w del sottospazio, il vettore r=v+w appartiene al sottospazio
iii) il prodotto in uno scalare 'a' per un vettore v del sottospazio appartiene ankora al sottospazio
dunque potremmo dover definire un sottospazio U = span{(1,1)}
cosa sbaglio in questo????
Risposte
Ciao, benvenuto nel forum!
Hai ragione a dire che $U=span{(1,1)}$ è un sottospazio (di $RR^2$). Ma tu devi dimostrare che le matrici quadrate di ordine $2$ e rango $1$ formano un sottospazio, non $U$.
Inizia a capire bene qual è l'insieme di cui vuoi dimostrare non essere un sottospazio.
Mi fai un esempio di matrice quadrata di ordine $2$ con rango $1$?
Hai ragione a dire che $U=span{(1,1)}$ è un sottospazio (di $RR^2$). Ma tu devi dimostrare che le matrici quadrate di ordine $2$ e rango $1$ formano un sottospazio, non $U$.
Inizia a capire bene qual è l'insieme di cui vuoi dimostrare non essere un sottospazio.
Mi fai un esempio di matrice quadrata di ordine $2$ con rango $1$?
ciao, grazie...ecco un esempio che mi viene in mente:
3 5
6 10
che ovviamente riducendo a scala diventa:
3 5
0 0
3 5
6 10
che ovviamente riducendo a scala diventa:
3 5
0 0
Giusto. Quelle che hai indicato sono matrici quadrate di ordine con rango nullo.
La matrice quadrata di ordine $2$ nulla appartiene al tuo insieme?
La matrice quadrata di ordine $2$ nulla appartiene al tuo insieme?
evidentemente no...
quindi se ho cpt, ciò che mi chiede l'esercizio è di considerare l'insieme delle matrici
di ordine 2 e rango 1 e non le combinazioni lineari dei vettori delle matrici suddette.
allora...chiedo per conferma...ad esempio l'insieme delle matrici simmetriche di ordine 2 genera un sottospazio vettoriale perchè la matrice
0 0
0 0
è anch'essa simmetrica?
quindi se ho cpt, ciò che mi chiede l'esercizio è di considerare l'insieme delle matrici
di ordine 2 e rango 1 e non le combinazioni lineari dei vettori delle matrici suddette.
allora...chiedo per conferma...ad esempio l'insieme delle matrici simmetriche di ordine 2 genera un sottospazio vettoriale perchè la matrice
0 0
0 0
è anch'essa simmetrica?
"Petruccioli":
evidentemente no...
quindi se ho cpt, ciò che mi chiede l'esercizio è di considerare l'insieme delle matrici
di ordine 2 e rango 1 e non le combinazioni lineari dei vettori delle matrici suddette.
Esatto. Inoltre, ti voglio far notare che la somma di due matrici quadrate di rango $1$ non è detto che sia di rango $1$. Per esempio $((1,0),(0,0))$ e $((0,0),(0,1))$.
"Petruccioli":
allora...chiedo per conferma...ad esempio l'insieme delle matrici simmetriche di ordine 2 genera un sottospazio vettoriale perchè la matrice
0 0
0 0
è anch'essa simmetrica?
Per dimostrare che si tratta di uno spazio vettoriale devi mostrare che valgono tutte le proprietà della definizione e non ti puoi limitare a far vedere che lo zero vi appartiene. (E' condizione necessaria ma non sufficiente).
Prova a dimostrarle, non è difficile. Se hai problemi, chiedi pure.
P.S. Per favore, non usare linguaggio tipo sms, come "cpt" per "capito", come da regolamento del forum.
perfetto, ho capito grazie...
però mi è sorto un altro dubbio in merito a ciò che hai detto
:
la somma di due matrici quadrate di rango 1 non è detto che sia di rango 1. Per esempio:
1 0 e 0 0
0 0 0 1
non potrei nella seconda matrice scambiare la seconda riga con la prima,
in modo da ottenere la seguente?
0 1
0 0
in questo modo la somma delle matrici mi da sempre una matrice con rango 1...
è corretto fare una cosa come questa?
però mi è sorto un altro dubbio in merito a ciò che hai detto
: la somma di due matrici quadrate di rango 1 non è detto che sia di rango 1. Per esempio:
1 0 e 0 0
0 0 0 1
non potrei nella seconda matrice scambiare la seconda riga con la prima,
in modo da ottenere la seguente?
0 1
0 0
in questo modo la somma delle matrici mi da sempre una matrice con rango 1...
è corretto fare una cosa come questa?
"Petruccioli":
in questo modo la somma delle matrici mi da sempre una matrice con rango 1...
è corretto fare una cosa come questa?
No: la somma di alcune matrici di rango $1$ ha rango $1$. Come le matrici che mi hai mostrato. Ma non vale per tutte le matrici. Ce ne sono alcune, come quelle che ti ho mostrato io, per cui questa proprietà non vale.
L'insieme delle matrici di rango $1$ non è sottospazio vettoriale perchè non è vero che la somma di tutte le matrici di rango $1$ ha ancora rango $1$.
P.S. Nei prossimi post cerca di usare le formule come da regolamento. Per capire come si fa, clicca qui.
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