Matrici quadrate
Ciao ragazzi, mi sono bloccato su questo tipo di esercizio:
Dare vari esempi di matrici quadrate di ordine 2 tali che:
- $ A^2=-I $
- $ B^2=0 $ ma nessuno dei coefficienti di B è nullo
- $ AB=CA $ con $ B != C $ (la matriche nulla non vale)
Sto provando a ragionare sulle varie proprietà delle matrice inverse e trasposte ma non ne vengo a capo. Tra l'altro non ho capito benissimo neanche la richiesta dell'esercizio.
Confido in voi
Dare vari esempi di matrici quadrate di ordine 2 tali che:
- $ A^2=-I $
- $ B^2=0 $ ma nessuno dei coefficienti di B è nullo
- $ AB=CA $ con $ B != C $ (la matriche nulla non vale)
Sto provando a ragionare sulle varie proprietà delle matrice inverse e trasposte ma non ne vengo a capo. Tra l'altro non ho capito benissimo neanche la richiesta dell'esercizio.
Confido in voi
Risposte
Allora, prendi una generica matrice $[(a,b),(c,d)]$... ora tramite la regola del prodotto moltiplicala per se stessa e scrivi il risultato. Ora questo deve essere uguale a -Id... Dunque poni gli elementi sulla diagonale principale uguali a -1 e gli altri uguali a zero...
Per il secondo punto fai la stessa cosa, ma poni tutti gli elementi uguali a zero... Ti usciranno piú opzioni, scarta quella con a,b,c,d tutti nulli.
Per l'ultimo punto prepara altre due matrici (B e C) con lettere diverse da A e fai la stessa cosa...
Prova a scrivere qua i tuoi calcoli e i tuoi passaggi e vediamo se hai fatto giusto.
Per l'ultimo punto prepara altre due matrici (B e C) con lettere diverse da A e fai la stessa cosa...
Prova a scrivere qua i tuoi calcoli e i tuoi passaggi e vediamo se hai fatto giusto.
Grazie per l'aiuto, ora posto le soluzioni.
Primo punto:
$ { ( a^2+bc=-1 ),( b(a+d)=0hArr b=0 uu a+d=0 ),( c(a+d)=0 hArr c=0 uu a+d=0 ),( cb+d^2=-1 ):} $ .
Notiamo che b = 0 è incompatibile con la prima equazione, c = 0 è incompatibile con la quarta equazione. Quindi $ a+d=0 $ ed il sitema è equivalente al seguente:
$ { ( a=-d ),( a^2+bc=-1 ):} $ .
Tra gli esempi:
$ [ ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ] $
$ [ ( 1, -1 ),( 2 , -1 ) ] $ .
Va bene? A breve posto le soluzioni per il secondo ed il terzo.
$ { ( a^2+bc=-1 ),( b(a+d)=0hArr b=0 uu a+d=0 ),( c(a+d)=0 hArr c=0 uu a+d=0 ),( cb+d^2=-1 ):} $ .
Notiamo che b = 0 è incompatibile con la prima equazione, c = 0 è incompatibile con la quarta equazione. Quindi $ a+d=0 $ ed il sitema è equivalente al seguente:
$ { ( a=-d ),( a^2+bc=-1 ):} $ .
Tra gli esempi:
$ [ ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ] $
$ [ ( 1, -1 ),( 2 , -1 ) ] $ .
Va bene? A breve posto le soluzioni per il secondo ed il terzo.
Il secondo punto:
$ { ( a^2+bc=0 ),( ba+bd=0 ),( ca+cd=0 ),( d^2+bc=0 ):} $ .
Prendo, ad esempio $ { ( a=-d ),( a^2+bc=0 ):} $ per avere le matrici: $ [ ( 1 , 1 ),( -1 , -1 ) ] $ , $ [ ( 2 , 2 ),( -2 , -2 ) ] $ e così via.
$ { ( a^2+bc=0 ),( ba+bd=0 ),( ca+cd=0 ),( d^2+bc=0 ):} $ .
Prendo, ad esempio $ { ( a=-d ),( a^2+bc=0 ):} $ per avere le matrici: $ [ ( 1 , 1 ),( -1 , -1 ) ] $ , $ [ ( 2 , 2 ),( -2 , -2 ) ] $ e così via.
Terzo punto:
$ [ ( a , b ),( c , d ) ] [ ( e , f ),( g , h ) ] = [ ( a , b ),( c , d ) ] [ ( i , l ),( m , n ) ] $ .
Posto il sistema:
$ { ( a(e-i)+b(g-m)=0 ),( c(f-l)+d(h-n)=0 ),( a(l-f)+b(n-h)=0 ),( c(e-i)+d(g-m)=0 ):} $ , mi ricavo ad esempio questa matrice:
$ { ( a(e-i)+b(g-m)=0 ),( c(e-i)+d(g-m)=0 ):} rArr [ ( -2 , 2 ),( -3 , 3 ) ] $ .
Tutto giusto?
$ [ ( a , b ),( c , d ) ] [ ( e , f ),( g , h ) ] = [ ( a , b ),( c , d ) ] [ ( i , l ),( m , n ) ] $ .
Posto il sistema:
$ { ( a(e-i)+b(g-m)=0 ),( c(f-l)+d(h-n)=0 ),( a(l-f)+b(n-h)=0 ),( c(e-i)+d(g-m)=0 ):} $ , mi ricavo ad esempio questa matrice:
$ { ( a(e-i)+b(g-m)=0 ),( c(e-i)+d(g-m)=0 ):} rArr [ ( -2 , 2 ),( -3 , 3 ) ] $ .
Tutto giusto?
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