Matrici PA=LU
Ciao a tutti, ho ripreso ieri le matrici PA=LU dopo un anno e non ricordo perfettamente tutto quanto. L'esercizio mi chiede di calcolare il determinante di A e risolvere un sistema ax=b che ho già risolto e non posterò perché ininfluente. Il mio unico dubbio riguarda il determinante che mi so calcolare ma non ricordo se ci sono diverse regole con aggiunte di segni. Mi sono calcolato U, L e P ma sinceramente non capisco come faccia a essere positivo il determinante. Altra cosa, mi ricordo solo come calcolare il determinante quando la triangolare inferiore è 0 e quindi moltiplico solo la diagonale (ho il dubbio però se debba aggiungere segni o meno).
$ A=[ ( 2, -2 , 2 , 2 ),( 1 , 0 , 0 , 3 ),( 4 , 0 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , 3 , 2 ) ] $
$ U=[ ( 4, 0 , 3 , 1 ),( 0 , -2 , 1/2 , 3/2 ),( 0 , 0 , 3 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 13/4 ) ] $
$ L=[ ( 1, -0 , 0 , 0 ),( 1/2 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 1/4 , 0 , -1/4 , 1 ) ] $
$ P=[ ( 1, 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) ] $
$ det(A)=det(P^-1)xx det(L)xx det(U) $
A me la formula per calcolare il determinante era stata spiegata così ma ho qualche dubbio. Mi era stato detto che:
$ P=(-1)^2 $ sempre e quindi 1. Calcolando L viene L=1, e se calcolo U, U=-78.
La soluzione dell'esame però dice che $ det(A)=78 $
$ A=[ ( 2, -2 , 2 , 2 ),( 1 , 0 , 0 , 3 ),( 4 , 0 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , 3 , 2 ) ] $
$ U=[ ( 4, 0 , 3 , 1 ),( 0 , -2 , 1/2 , 3/2 ),( 0 , 0 , 3 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 13/4 ) ] $
$ L=[ ( 1, -0 , 0 , 0 ),( 1/2 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 1/4 , 0 , -1/4 , 1 ) ] $
$ P=[ ( 1, 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) ] $
$ det(A)=det(P^-1)xx det(L)xx det(U) $
A me la formula per calcolare il determinante era stata spiegata così ma ho qualche dubbio. Mi era stato detto che:
$ P=(-1)^2 $ sempre e quindi 1. Calcolando L viene L=1, e se calcolo U, U=-78.
La soluzione dell'esame però dice che $ det(A)=78 $
Risposte
Non ho letto tutto, ma se hai fattorizzato in LU la tua matrice $A$, con $L$ e $U$ rispettivamente trinagolare inferiore e superiore, allora devi usare il fatto che $L$ sulla diagonale ha tutti 1, e che $det(P) = det(P^{-1})=1$ allora \( |det(A)|=|det(LU)|=|\prod_{i = 1}^{N} u_{i,i}| \) , dove $u_{i,i}$ sono gli elementi sulla diagonale di U.
Il segno del determinante dipende dal numero di permutazione eseguite, di cui tiene conto la matrice $P$
Il segno del determinante dipende dal numero di permutazione eseguite, di cui tiene conto la matrice $P$
In effetti l'ultima cosa che ho detto è la più importante... meglio scrivere $det(A)=(-1)^{s} \prod_{i=1}^{N} u_{i,i}$, dove $s$ è il numero di operazioni di scambio riga.
Poi comunque se conosci qualche linguaggio tipo Octave, MatLab, (credo anche woflram alpha riesca a farlo), puoi verificare il determinatne di una matrice molto facilemnte col comando det(A), e vedere anche le relative fattorizzazioni, tipo la LU del tuo caso
Poi comunque se conosci qualche linguaggio tipo Octave, MatLab, (credo anche woflram alpha riesca a farlo), puoi verificare il determinatne di una matrice molto facilemnte col comando det(A), e vedere anche le relative fattorizzazioni, tipo la LU del tuo caso
la formula che hai messo tu non la conosco, questi esercizi li ho imparati senza la teoria. L'unico problema è che non capisco come faccia a essere +78 la soluzione dato che a me verrebbe $ (-1)^2 $ x $ 1 $ x $ (-78) $.
A sto punto o mi sfugge qualcosa su U o non sto proprio capendo. Ma $ U= 4 xx (-2) xx 3 xx (13/4) = -78 $
A sto punto o mi sfugge qualcosa su U o non sto proprio capendo. Ma $ U= 4 xx (-2) xx 3 xx (13/4) = -78 $
ho sistemato il mio messaggio. Quanti scambi di riga hai fatto?
Comunque dovresti studiare la teoria per questo tipo di esercizi. Sicuramente la richieste non prevedeva di calcolare anche il determinante di $L$
Forse ho capito, inizialmente pensavo che det (P) fosse sempre $ (-1)^2 $. Invece se ho ben capito P lo devo elevare per il numero di righe che scambio giusto? In questo caso 3 righe quindi risulterà $ det (A) = (-1)^3 xx 1 xx (-78) = 78 $
L'esercizio richiede di risolvere PA = LU ed L è necessario per risolvere l'ultimo punto dell'esercizio (qui l'ho tralasciato perché è corretto) il sistema Ax=b con la formula finale messa a sistema tra Ly=Pb e UX=y
L'esercizio richiede di risolvere PA = LU ed L è necessario per risolvere l'ultimo punto dell'esercizio (qui l'ho tralasciato perché è corretto) il sistema Ax=b con la formula finale messa a sistema tra Ly=Pb e UX=y
Una precisazione, dal momento che hai fatto i conti giusti, ma hai scritto una cosa sbagliata: non è che elevi $P$, elevi $(-1)$ al numero di scambio di righe.
Certo, ma io parlavo del fatto che non è necessario calcolare il determinante di $L$
"Fra1994":
L'esercizio richiede di risolvere PA = LU ed L è necessario per risolvere l'ultimo punto dell'esercizio (qui l'ho tralasciato perché è corretto) il sistema Ax=b con la formula finale messa a sistema tra Ly=Pb e UX=y
Certo, ma io parlavo del fatto che non è necessario calcolare il determinante di $L$
ok perfetto, ho capito. si si, so che comunque risulta ininfluente dato che è 1. Ma infatti lo aggiungo solo per questione di abitudine dato che me li hanno insegnati così. Una cosa che però potrebbe risultare sbagliata all'esame allora. Se io scrivo così:
$ det(A)= det (P^-1) xx det(L) xx det(U) = - (1)^3 xx 1 xx (-78) = 78 $
è sbagliato quel P? mi conviene scrivere direttamente $ det(A) = - (1)^3 xx 1 xx (-78) = 78 $ (magari tralasciando l'1 della L)
$ det(A)= det (P^-1) xx det(L) xx det(U) = - (1)^3 xx 1 xx (-78) = 78 $
è sbagliato quel P? mi conviene scrivere direttamente $ det(A) = - (1)^3 xx 1 xx (-78) = 78 $ (magari tralasciando l'1 della L)
Se avete visto la formula che ti ho citato sopra, quella con la produttoria, io scriverei $(-1)^3 * (-78)$. L'ultima che hai scritto è forse più chiara. Insomma l'importante è che si capisca quello che stai facendo
Si, finalmente ho risolto tutti i dubbi su questa tipologia di esercizio che è abbastanza semplice. Avevo problemi solo perché non mi erano mai stati spiegati decentemente e non conoscevo qualche piccolo ma fondamentale dettaglio. Il problema ora sono le serie e le trasformate di fourier che non le ho mai capite 
Felice di esserti stato utile!
Comunque cercando in rete troverai sicuramente fiumi di roba che ti potrà essere utile. Buona fortuna
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