Matrici ortogonali (riferimenti alle forme quadratiche)
Ciao...avevo bisogno di farvi una domanda forse stupida, ma è una curiosità che voglio togliermi.
La relazione che lega due matrici associate alla stessa forma bilineare è $A'=^tPAP$, se la matrice $P$ è ortogonale, questa relazione è equivalente a quella tra matrici simili, ossia associate allo stesso endomorfismo. Quindi per scrivere in forma canonica una forma quadratica basterebbe scrivere la matrice associata a questa e considerarla associata ad un endomorfismo, e trovare gli autovettori, gli autovalori saranno i coefficenti della forma canonica risultante, e la matrice del cambiamento è quella formata dagli autovettori normalizzati (questa è l'idea che mi sono fatta io, questa procedura per il passaggio in forma canonica non è stato svolto a lezione, spero di non aver capito tutto male!). Quindi una matrice ortogonale è una matrice formata da vettori (righe o colonne) ortonormali tra loro... é tutto corretto?
La relazione che lega due matrici associate alla stessa forma bilineare è $A'=^tPAP$, se la matrice $P$ è ortogonale, questa relazione è equivalente a quella tra matrici simili, ossia associate allo stesso endomorfismo. Quindi per scrivere in forma canonica una forma quadratica basterebbe scrivere la matrice associata a questa e considerarla associata ad un endomorfismo, e trovare gli autovettori, gli autovalori saranno i coefficenti della forma canonica risultante, e la matrice del cambiamento è quella formata dagli autovettori normalizzati (questa è l'idea che mi sono fatta io, questa procedura per il passaggio in forma canonica non è stato svolto a lezione, spero di non aver capito tutto male!). Quindi una matrice ortogonale è una matrice formata da vettori (righe o colonne) ortonormali tra loro... é tutto corretto?
Risposte
Supponi però di essere in uno spazio euclideo.
scegliendo il prodotto scalare standard? o va bene uno qualsiasi?
In realtà ci stavo ancora pensando a quanto stavi dicendo, non sono convinto che sia sbagliata, ma non so del tutto sicuro nell'affermare che sia giusto 
Credo però che un prodotto scalare qualsiasi sia più che sufficiente.
Considerando il fatto che la matrice di passaggio tra due basi ortonormali è ortogonale...
Credo però che un prodotto scalare qualsiasi sia più che sufficiente.
Considerando il fatto che la matrice di passaggio tra due basi ortonormali è ortogonale...
"Paola90":
Quindi per scrivere in forma canonica una forma quadratica basterebbe scrivere la matrice associata a questa e considerarla associata ad un endomorfismo, e trovare gli autovettori, gli autovalori saranno i coefficenti della forma canonica risultante, e la matrice del cambiamento è quella formata dagli autovettori normalizzati
Giusto.
"Paola90":
Quindi una matrice ortogonale è una matrice formata da vettori (righe o colonne) ortonormali tra loro... é tutto corretto?
Sì, appunto nello spazio euclideo.
Questa è una delle diverse definizioni (equivalenti) di matrice ortogonale, come puoi appurare leggendo qua
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_or ... rtonormali
Ti faccio notare infine che se vuoi diagonalizzare una forma bilineare simmetrica (renderla in forma canonica), puoi appunto come hai detto procedere trovando autovalori e una base di autovettori ortonormale.
Ma non è questo l'unico modo, né quella l'unica forma canonica. In generale, se riesci a trovare una matrice invertibile [tex]$Q$[/tex] tale che $[tex]$^tQAQ$[/tex] sia diagonale (dove [tex]$A$[/tex] è la matrice simmetrica della forma bilineare), hai fatto.
E non è necessario che [tex]$Q$[/tex] sia ortogonale.
Chiaro?
Ciao.
Quindi più o meno avevo detto bene, anche se mi mancava qualche tassello.
Grazie Steven
Grazie Steven
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