Matrici ortogonali: prodotto matrice per sua trasposta=matrice unità
Salve a tutti.
Ho un dubbio.
In una dimostrazione in un testo di Meccanica Razionale con le matrici ortogonali, quindi quelle il cui prodotto tra loro e le loro trasposte dà la matrice unità, è riportata la frase, utilizzando il simbolo di Kronecker $\delta$ :
"data la matrice ortogonale A, si ha che $(A_kq)^t A_qr = \delta_kr$ , con t che indica la trasposta e gli indici nel pedice."
Però se k=r e quindi $\delta_kr=1$ per me quella operazione viene $A_qk A_qr$ che per k=r dà
$A_qr A_qr$ che certamente non dà la matrice unità, sarebbe la matrice moltiplicata per sè stessa.
Non dovrebbero scambiarsi gli indici scrivendo all'inizio $(A_qk)^t A_qr=\delta_kr$ così per k=r avrei $A_rq A_qr =I$ ?
Voi che ne pensate?
Grazie e buon Ferragosto.
Ho un dubbio.
In una dimostrazione in un testo di Meccanica Razionale con le matrici ortogonali, quindi quelle il cui prodotto tra loro e le loro trasposte dà la matrice unità, è riportata la frase, utilizzando il simbolo di Kronecker $\delta$ :
"data la matrice ortogonale A, si ha che $(A_kq)^t A_qr = \delta_kr$ , con t che indica la trasposta e gli indici nel pedice."
Però se k=r e quindi $\delta_kr=1$ per me quella operazione viene $A_qk A_qr$ che per k=r dà
$A_qr A_qr$ che certamente non dà la matrice unità, sarebbe la matrice moltiplicata per sè stessa.
Non dovrebbero scambiarsi gli indici scrivendo all'inizio $(A_qk)^t A_qr=\delta_kr$ così per k=r avrei $A_rq A_qr =I$ ?
Voi che ne pensate?
Grazie e buon Ferragosto.
Risposte
Scusami per il ritardo, m'ero dimenticato di commentare: potresti spiegarci la simbologia degli indici? Non riesco a decifrarla!
Ciao petrol89, qualche consiglio su come scrivere apici e pedici:
Se hai un pedice (risp. apice) fatto da un solo simbolo, allora basta scrivere, ad esempio
Per ottenere: $A^t, b_n, (a+b)^5$
Se invece il tuo apice (risp. pedice) deve contenere più simboli, usa le parentesi.
A tal proposito, scriveremo
Per otttenere: $\delta_(ij), A^(x+y), \sum_(i\ge 1) $.
Utilizzando questo fatto, io penso tu volessi scrivere la seguente relazione:
$A_(kq)^t A_(qr)=\delta_(kr)$ con sottointesa una somma sull'indice $q$ con $q=1,...,n$ con $n$ taglia di $A$.
In tal caso suppongo $A_(ij)$ indichi l'elemento di posto $(i,j)$ della matrice $A$ e $A_(ij)^t$ l'elemento di posto $(i,j)$ della matrice trasposta, mentre $\delta_(ij)$ è il delta di Kronecker.
Nel caso $k=r$ ottieni il prodotto:
$sum_(q=1)^n A_(rq)^t A_(qr)=\delta_(rr)=1$
E a me torna giusto, vediamo un caso semplice:
Sia $A$ la matrice: $((a_(11), a_(12)),(a_(21),a_(22)))$
La cui trasposta è la matrice $A^T$ data da:$((a_(11), a_(21)),(a_(12),a_(22)))$.
Facciamo ora il prodotto con $k=r=1$:
$\sum_(q=1)^2 a_(1q)^t\cdot a_(q1) = a_(11)^ta_(11)+a_(12)^t+a_(21)=a_(11)^2+a_(21)^2 $
Che torna se fai il prodotto righe colonne.
Poi tu stai imponendo che tale prodotto faccia 0 o 1 a seconda della posizione che ti serve, non è che *deve uscirti* 1 (o 0)
Se hai un pedice (risp. apice) fatto da un solo simbolo, allora basta scrivere, ad esempio
A^t , b_n, (a+b)^5
Per ottenere: $A^t, b_n, (a+b)^5$
Se invece il tuo apice (risp. pedice) deve contenere più simboli, usa le parentesi.
A tal proposito, scriveremo
\delta_(ij), A^(x+y), \sum_(i\ge 1)
Per otttenere: $\delta_(ij), A^(x+y), \sum_(i\ge 1) $.
Utilizzando questo fatto, io penso tu volessi scrivere la seguente relazione:
$A_(kq)^t A_(qr)=\delta_(kr)$ con sottointesa una somma sull'indice $q$ con $q=1,...,n$ con $n$ taglia di $A$.
In tal caso suppongo $A_(ij)$ indichi l'elemento di posto $(i,j)$ della matrice $A$ e $A_(ij)^t$ l'elemento di posto $(i,j)$ della matrice trasposta, mentre $\delta_(ij)$ è il delta di Kronecker.
Nel caso $k=r$ ottieni il prodotto:
$sum_(q=1)^n A_(rq)^t A_(qr)=\delta_(rr)=1$
E a me torna giusto, vediamo un caso semplice:
Sia $A$ la matrice: $((a_(11), a_(12)),(a_(21),a_(22)))$
La cui trasposta è la matrice $A^T$ data da:$((a_(11), a_(21)),(a_(12),a_(22)))$.
Facciamo ora il prodotto con $k=r=1$:
$\sum_(q=1)^2 a_(1q)^t\cdot a_(q1) = a_(11)^ta_(11)+a_(12)^t+a_(21)=a_(11)^2+a_(21)^2 $
Che torna se fai il prodotto righe colonne.
Poi tu stai imponendo che tale prodotto faccia 0 o 1 a seconda della posizione che ti serve, non è che *deve uscirti* 1 (o 0)
Grazie per le vostre risposte.
Mi scuso perchè in effetti non avevo scritto chiaramente gli indici e ora, con la spiegazione di Lebesgue, ho capito come si fa a scriverli correttamente.
Per Lebesgue:
grazie infinite per la spiegazione.
Ok, mi torna tutto, magari se puoi chiarirmi solo l'ultima riga che non ho capito al 100% , ma ovviamente per mio limite.
Grazie assai.
Mi scuso perchè in effetti non avevo scritto chiaramente gli indici e ora, con la spiegazione di Lebesgue, ho capito come si fa a scriverli correttamente.
Per Lebesgue:
grazie infinite per la spiegazione.
Ok, mi torna tutto, magari se puoi chiarirmi solo l'ultima riga che non ho capito al 100% , ma ovviamente per mio limite.
Grazie assai.
"petrol89":
Per Lebesgue:
grazie infinite per la spiegazione.
Figurati! E' sempre un piacere
Ok, mi torna tutto, magari se puoi chiarirmi solo l'ultima riga che non ho capito al 100% , ma ovviamente per mio limite.
Nell'ultima riga intendo dire che imponendo che il prodotto $A^t\cdot A=I_n$ (dove $I_n$ indica la matrice identità $n\times n$ stai dando una caratterizzazione delle matrici ortogonali.
Ovvero, stai dicendo che una matrice quadrata $A$ è ortogonale se $A^tA=I_n$, dunque quando vai a fare i conti del prodotto righe-colonne, tu non vuoi che "magicamente" ti esca 1 (o 0), ma stai dicendo che le matrici che sono ortogonali devono avere quel prodotto che fa 1 (o 0)
Provo a spiegarmi meglio:
quando sviluppi la somma (mettiamoci nel caso $k=r$, dunque deve uscire 1):
$\sum_(q=1)^n A_(kq)^tA_(qr)$ e vai a fare i conti, non ti aspetti che ti esca 1 dal nulla, a prescindere dal valore delle entrate della matrice $A$, cioè non ti aspetti che venga qualcosa del tipo $A_(qq)^t-A_(qq)+1$, che appunto fa 1 a prescindere da come è fatta la matrice.
Bensì ti aspetti una relazione che dipende fortemente dalle singole entrate.
Perché appunto le matrici ortogonali sono matrici che devono avere entrate particolari, che rispettano una certa relazione
Ah ok, adesso mi risulta tutto più chiaro.
Grazie assai per la competenza e la disponibilità.
Grazie assai per la competenza e la disponibilità.
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