Matrici ortogonali o unitarie
Salve a tutti stavo provando a mostrare che se $A$ è una matrice ortogonale allora deve valere \(A^{-1} = A^{\dagger}\), ove con la daga si intende la trasposta coniugata o aggiunta.
Se la matrice è ortogonale allora si ha che: $ \langle A\vec{v} \ , \ A\vecu \rangle = \langle \vec{v} \ , \ \vecu \rangle$
Io sono arrivato a questo:
\(A\textbf{v} = \sum_iA_i\textbf{v}, A\textbf{u} = \sum_iA_i\textbf{u}\). Da cui ottengo con alcuni passaggi:
$ \langle A\vec{v} \ , \ A\vecu \rangle = \sum_i( \bar{A_i} \vecv A_i\vecu) = \sum_i(\sum_j \bar{A_{ij}}\bar{v_j} \sum_k A_{ik}u_k) $
Adesso non so come andare avanti. Vorrei provare a raggruppare il prodotto $\bar{A_{ij}} A_{ik}$, così poi lo pongo uguale alla matrice identità e il gioco è fatto, cioè l'idea è fare questo:
$\bar{(A)_{ij}}(A)_{ik} = Id$
Infatti $\bar{A_{ij}} = \bar{(A_{ji})^T} $ che è proprio la definizione di matrice aggiunta.
Da qui otterrei la condizione \( A^{\dagger} A = Id \) da cui otterrei la tesi
Qualcuno sa dirmi come sistemare quel prodotto? Ringrazio in anticipo per la risposta
Se la matrice è ortogonale allora si ha che: $ \langle A\vec{v} \ , \ A\vecu \rangle = \langle \vec{v} \ , \ \vecu \rangle$
Io sono arrivato a questo:
\(A\textbf{v} = \sum_iA_i\textbf{v}, A\textbf{u} = \sum_iA_i\textbf{u}\). Da cui ottengo con alcuni passaggi:
$ \langle A\vec{v} \ , \ A\vecu \rangle = \sum_i( \bar{A_i} \vecv A_i\vecu) = \sum_i(\sum_j \bar{A_{ij}}\bar{v_j} \sum_k A_{ik}u_k) $
Adesso non so come andare avanti. Vorrei provare a raggruppare il prodotto $\bar{A_{ij}} A_{ik}$, così poi lo pongo uguale alla matrice identità e il gioco è fatto, cioè l'idea è fare questo:
$\bar{(A)_{ij}}(A)_{ik} = Id$
Infatti $\bar{A_{ij}} = \bar{(A_{ji})^T} $ che è proprio la definizione di matrice aggiunta.
Da qui otterrei la condizione \( A^{\dagger} A = Id \) da cui otterrei la tesi
Qualcuno sa dirmi come sistemare quel prodotto? Ringrazio in anticipo per la risposta
Risposte
"SteezyMenchi":
Se la matrice è ortogonale allora si ha che: $ \langle A\vec{v} \ , \ A\vecu \rangle $
Io sono ...
Non ho capito cosa volevi scrivere.
Si scusami volevo scrivere che le matrici ortogonali sono associate a trasformazioni che non "cambiano" il prodotto scalare. Scusa la terminologia, ma non ho altri modi per dirlo al momento
E allora credo proprio che da quella definizione segua abbastanza facilmente la proprietà che cerchi. Io non passere agli indici, ma scriverei la proprietà della trasposta rispetto al prodotto scalare.
Mi sembra arduo dimostrarlo senza passare agli indici. Non ho capito cosa intendi con la proprietà della trasposta rispetto al prodotto scalare. Puoi rispiegare la strategia scusa? In ogni caso grazie per l'interessamento
Dal fatto che \(\langle Ax,Ay\rangle=\langle x,y\rangle\) si ha che \(\bar x^ty=\bar x^t\bar A^tAy\), e ora valutando questa uguaglianza su una base hai che \(\bar A^t A\) è la matrice identica: \(\delta_{ij}=\bar e_i^t \bar A^t A e_j = (\bar A^t A)_{ij}\).
"SteezyMenchi":
Mi sembra arduo dimostrarlo senza passare agli indici. Non ho capito cosa intendi con la proprietà della trasposta rispetto al prodotto scalare. Puoi rispiegare la strategia scusa? In ogni caso grazie per l'interessamento
La trasposta $A^T$ è caratterizzata dalla proprietà $
EDIT
Poi io pensavo al seguente fatto: se $<\vec{u},\vec{v}> =0$ per ogni $\vec{v}$ necessariamente $\vec{u}=0$.
Forse però questo giro è troppo astratto...
Grazie megas_archon. Era proprio quello che cercavo, in notazione matriciale è effettivamente molto più semplice. Ringrazio anche goblin per l'interessamento.
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