Matrici ortogonali ed unitarie

[Studente-fisica]

Ciao a tutti! Mi sono imbattuto in questa dimostrazione e ho un dubbio che mi attanaglia.
Ho dimostrato così che se una matrice conserva la norma, allora è ortogonale (considerato il prodotto scalare standard).
Una matrice conserva la norma se $ = $. Preso $ u=v-w $, la formula precedente diventa $ = $. Sviluppando si ottiene: $ -2 = -2 $ che, eliminando $ -2 $ da entrambe le parti, dà proprio la definizione di matrice ortogonale.
Cercando di fare lo stesso per una matrice unitaria (considerato il prodotto hermitiano standard), non riesco ad arrivare alla stessa conclusione, anche se teoricamente dovrebbe essere lo stesso procedimento. La difficoltà deriva dal fatto che il prodotto hermitiano non è commutativo ma coniugato-commutativo. Qualcuno sa come fare?

[Studente-fisica]

Mi spiego meglio nella speranza di una risposta!
Per dimostrare che se A conserva la norma allora è ortogonale ho fatto così:
A conserva la norma se $ = $
Con $ u=v-w $, $ = = = $
Per le proprietà del prodotto scalare (standard):
$ = - - + $
e $ = - - + $
Posso, per l'ipotesi di partenza, eliminare a destra dell'uguale $ $ e $ $, ed a sinistra $ $ e $ $, ottenendo così, grazie al fatto che per un prodotto scalare $ = $, $ -2 = -2 $. Eliminando il coefficiente $ -2 $ da ambo le parti, ottengo così la definizione di matrice ortogonale.
Per quanto riguarda le matrici unitarie ed il prodotto hermitiano standard il discorso dovrebbe essere teoricamente lo stesso, ed anche il procedimento, se non fosse che, nel penultimo passaggio, non posso invertire tra loro i vettori, poiché $ $ non è uguale a $ $, bensì al suo complesso coniugato.
Ottengo quindi: $ - - = - - $
Come posso concludere la dimostrazione per il prodotto hermitiano standard e le matrici unitarie, ottenendo $ = $?

[spugna2]

Da una parte hai $- \langle Av,Aw \rangle - \langle Aw,Av \rangle = - \langle Av,Aw \rangle - \overline{\langle Av,Aw \rangle}=-2 \Re \langle Av,Aw \rangle$, e analogamente dall'altra hai $-2 \Re \langle v,w \rangle$, quindi le parti reali coincidono; se ora fai lo stesso conto a partire da $u=v-iw$ trovi in modo analogo l'uguaglianza tra le parti immaginarie, da cui $\langle Av,Aw \rangle = \langle v,w \rangle$.

[Studente-fisica]

Grazie mille! Risolto tutto