Matrici ortogonali?

[MementoMori2]

Ragazzi, sapreste spiegarmi perchè le matrici ortogonali di ordine 2 sono necessariamente di tipo :

P (matrice di cambiamento di base da B a B') =

-sin $ \Theta $	sin $ \Theta$

Oppure del tipo:

sin $ \Theta$	sin $\Theta $

[billyballo2123]

Dovresti sapere che se una matrice è ortogonale, allora le sue colonne formano una base ortonormale, cioè sono a due a due perpendicolari e hanno norma $1$. Pertanto se siamo in dimensione due, un vettore unitario si può scrivere come
\[
\begin{bmatrix}
\cos \vartheta \\
\sin \vartheta
\end{bmatrix}
\]
e questa è la prima colonna. Ora, essendo in dimensione due, gli unici altri due vettori unitari perpendicolari a questo sono
\[
\begin{bmatrix}
-\sin \vartheta \\
\cos \vartheta
\end{bmatrix}
\qquad
\textrm{e}
\qquad
\begin{bmatrix}
\sin \vartheta \\
-\cos \vartheta
\end{bmatrix}
\]
dunque devi scegliere uno di questi due come seconda colonna.

[MementoMori2]

"billyballo2123":Dovresti sapere che se una matrice è ortogonale, allora le sue colonne formano una base ortonormale, cioè sono a due a due perpendicolari e hanno norma $1$. Pertanto se siamo in dimensione due, un vettore unitario si può scrivere come
\[
\begin{bmatrix}
\cos \vartheta \\
\sin \vartheta
\end{bmatrix}
\]
e questa è la prima colonna. Ora, essendo in dimensione due, gli unici altri due vettori unitari perpendicolari a questo sono
\[
\begin{bmatrix}
-\sin \vartheta \\
\cos \vartheta
\end{bmatrix}
\qquad
\textrm{e}
\qquad
\begin{bmatrix}
\sin \vartheta \\
-\cos \vartheta
\end{bmatrix}
\]
dunque devi scegliere uno di questi due come seconda colonna.

Si, ma dovresti sapere che per il tuo stesso ragionamento una matrice ortogonale di ordine 2 potrebbe essere anche del tipo :

sin $\Theta$	-sin $\Theta$

Invece, come riportato sul mio libro, una matrice ortogonale di ordine 2 non può essere di questo tipo, perchè?

[billyballo2123]

Certo che può essere di quel tipo. Basta cambiare $\vartheta$ con -$\vartheta$. Il punto è che puoi sempre trovare un $\overline{\vartheta}$ per scriverla in modo
\[
\begin{bmatrix}
\cos\overline{\vartheta} & -\sin\overline{\vartheta} \\
\sin\overline{\vartheta} & \cos\overline{\vartheta}
\end{bmatrix}
\qquad
\textrm{o}
\qquad
\begin{bmatrix}
\cos\overline{\vartheta} & \sin\overline{\vartheta} \\
\sin\overline{\vartheta} & -\cos\overline{\vartheta}
\end{bmatrix}.
\]
Se ad esempio ne hai una della forma
\[
\begin{bmatrix}
\cos\vartheta & \sin\vartheta \\
-\sin\vartheta & \cos\vartheta
\end{bmatrix},
\]
ti basta porre $\overline{\vartheta}=-\vartheta$ e magicamente diventa
\[
\begin{bmatrix}
\cos\overline{\vartheta} & -\sin\overline{\vartheta} \\
\sin\overline{\vartheta} & \cos\overline{\vartheta}
\end{bmatrix}
\]

[MementoMori2]

"billyballo2123":Certo che può essere di quel tipo. Basta cambiare $\vartheta$ con -$\vartheta$. Il punto è che puoi sempre trovare un $\overline{\vartheta}$ per scriverla in modo
\[
\begin{bmatrix}
\cos\overline{\vartheta} & -\sin\overline{\vartheta} \\
\sin\overline{\vartheta} & \cos\overline{\vartheta}
\end{bmatrix}
\qquad
\textrm{o}
\qquad
\begin{bmatrix}
\cos\overline{\vartheta} & \sin\overline{\vartheta} \\
\sin\overline{\vartheta} & -\cos\overline{\vartheta}
\end{bmatrix}.
\]
Se ad esempio ne hai una della forma
\[
\begin{bmatrix}
\cos\vartheta & \sin\vartheta \\
-\sin\vartheta & \cos\vartheta
\end{bmatrix},
\]
ti basta porre $\overline{\vartheta}=-\vartheta$ e magicamente diventa
\[
\begin{bmatrix}
\cos\overline{\vartheta} & -\sin\overline{\vartheta} \\
\sin\overline{\vartheta} & \cos\overline{\vartheta}
\end{bmatrix}
\]

No, ti sbagli sul mio libro riporta che non può essere di quel tipo, guarda l'esercizio in fondo a questa pagina

[billyballo2123]

No che non mi sbaglio
Ti sto appunto dicendo che la matrice la puoi scrivere nella forma che ti richiede l'esercizio cambiando $\vartheta$ con $-\vartheta $