Matrici: molteplicità algebrica, geometrica e ... (nome) ?
Ciao a tutti! Qualcuno mi può per favore suggerire se magari c'è una "terza" molteplicità dopo quella geometrica e algebrica degli autovalori, oppure un altro parametro importante che si può definire per le matrici in forma di Jordan. So che è venuto fuori a lezione ma non mi ricordo più come si chiama, non lo trovo nel quaderno perderei troppo tempo a cercarla ho troppa roba.
Insomma dopo la molteplicità algebrica e geometrica quale altro parametro vi verrebbe immediatamente in mente?
Poteva essere forse la dimensione del blocco massimo associato all'autovalore $\lambda$? Non saprei neanche come chiamarlo
Insomma dopo la molteplicità algebrica e geometrica quale altro parametro vi verrebbe immediatamente in mente?
Poteva essere forse la dimensione del blocco massimo associato all'autovalore $\lambda$? Non saprei neanche come chiamarlo
Risposte
non ho mai fatto la forma di Jordan ma non mi vengono in mente altre matrici. posso provare a dirti dei termini collegati alle due molteplicità che hai menzionato: diagonizzabilità, autovalori, autovettori, polinomio caratteristico, polinomio minimo.
ho trovato dove l'avevo scritto, per una matrice che ha la seguente forma di Jordan:
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
ho scritto : molteplicità $m$ in $\Psi_F(s)$ per $\lambda_1 = 2: m_1=2$, $\lambda_2 = 1: m_2=3$.
Cosa potrebbe essere? corrisponde alla dimensione massima tra i blocchi relativi all'autovalore ma comunque $\Psi_F(s)$ sembra un polinomio che non è quello caratteristico perché in quello l'ordine corrisponde alla molteplicità algebrica invece questa è un'altra. Potrebbe per caso essere l'ordine nel polinomio minimo? (quest'ultimo non l'ho mai capito)
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
ho scritto : molteplicità $m$ in $\Psi_F(s)$ per $\lambda_1 = 2: m_1=2$, $\lambda_2 = 1: m_2=3$.
Cosa potrebbe essere? corrisponde alla dimensione massima tra i blocchi relativi all'autovalore ma comunque $\Psi_F(s)$ sembra un polinomio che non è quello caratteristico perché in quello l'ordine corrisponde alla molteplicità algebrica invece questa è un'altra. Potrebbe per caso essere l'ordine nel polinomio minimo? (quest'ultimo non l'ho mai capito)
purtroppo non mi dice niente. aspettiamo qualcuno che ne sappia più di noi 
"Ad occhio", la matrice ha autovalori $lambda_1 =2, lambda_2=1$ (uso la notazione degli appunti); dette $alpha_i, gamma_i$ le molteplicità algebrica e geometrica rispettivamente, si vede che[nota]Con conti piuttosto noiosi si trova che il polinomio caratteristico è $(lambda - 2)^5(lambda - 1)^5$ e che le basi degli autospazi associati a ciascun autovalore sono costituite da $3$ elementi della base canonica di $RR^(10)$.[/nota]:
\[
\begin{split}
\alpha_1 = 5 \quad &\text{e}\quad \gamma_1=3\\
\alpha_2 = 5 \quad &\text{e}\quad \gamma_2 = 3\;.
\end{split}
\]
Quindi $lambda_1$ e $lambda_2$ hanno le stesse molteplicità.
Ciò che distingue i due autovalori è la dimensione dei corrispondenti blocchetti di Jordan ed il loro numero: infatti, $lambda_1$ ha associati due blocchetti di dimensione $2$ mentre $lambda_1$ ha associati un solo blocchetto di dimensione $3$.
Quindi penso che le $m_i$ siano le dimensioni dei blocchetti di Jordan associati agli autovalori $lambda_i$.
\[
\begin{split}
\alpha_1 = 5 \quad &\text{e}\quad \gamma_1=3\\
\alpha_2 = 5 \quad &\text{e}\quad \gamma_2 = 3\;.
\end{split}
\]
Quindi $lambda_1$ e $lambda_2$ hanno le stesse molteplicità.
Ciò che distingue i due autovalori è la dimensione dei corrispondenti blocchetti di Jordan ed il loro numero: infatti, $lambda_1$ ha associati due blocchetti di dimensione $2$ mentre $lambda_1$ ha associati un solo blocchetto di dimensione $3$.
Quindi penso che le $m_i$ siano le dimensioni dei blocchetti di Jordan associati agli autovalori $lambda_i$.
Grazie mille per le vostre risposte! Allora rimango anche io a quest'idea (che corrispondo alle dimensioni dei blocchetti).
Prego Patras.
Però ora sono curioso... Non è che riesci a chiedere informazioni a qualcuno che ha seguito quel corso? O al docente?
Però ora sono curioso... Non è che riesci a chiedere informazioni a qualcuno che ha seguito quel corso? O al docente?
E' passato un po' di tempo e forse non ti interessa più ma comunque per concludere l'avevo chiesto e anche loro mi hanno detto quello che dicevi tu. Grazie comunque
Prego. 
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