Matrici isomorfe ad applicazioni lineari

[matteoorlandini]

Buongiorno, vorrei sapere come dimostrare il teorema che afferma che la matrice di $m$ equazioni in $n$ incognite è isomorfa all'applicazione lineare da $R^n$ $rarr$ $R^m$. In particolare la dimensione dell'applicazione lineare è uguale al prodotto di $n * m$.

[killing_buddha]

Hai un po' di confusione sulla terminologia e il significato delle costruzioni elementari di algebra lineare; in estrema sintesi

1. Esiste uno spazio vettoriale \(Lin(V,W)\) che contiene le applicazioni lineari tra due spazi vettoriali $V,W$ sullo stesso campo $K$. Le operazioni di somma di applicazioni e prodotto per scalare sono definite nel modo ovvio (due funzioni si sommano e si moltiplicano per uno scalare punto per punto).
2. Questo spazio vettoriale ha dimensione \( \dim V \cdot \dim W\); cio' si dimostra scegliendo delle basi per $V$ e $W$, diciamo \(\mathcal V = \{v_1,\dots, v_n\}\) e \(\mathcal W = \{ w_1,\dots, w_m\} \) e dicendo che ogni applicazione lineare $F$ in \(Lin(V,W)\) si ottiene dalla somma
\[
\sum_{i,j} F_{ij}v_i\otimes w_j
\] dove \(v_i\otimes w_j\) e' un modo simpatico di scrivere quella applicazione che vale $w_j$ quando viene valutata sul vettore $v_i$ della base, e 0 da ogni altra parte, e $F_{ij} := $ la $j$-esima coordinata del vettore $F(v_i)$ scritto nella base \(\mathcal W\).
3. Quanto detto sopra dimostra che \(Lin(V,W)\) e' generato dai \(v_i\otimes w_j\), e questi sono esattamente $n m$ vettori indipendenti di \(Lin(V,W)\). Nelle basi che hai scelte, questo isomorfismo rende \(Lin(V,W)\) isomorfo allo spazio delle matrici \(n\ times m\) ad ingressi in $K$.