Matrici invertibili
siano A e B due matrici reali quadrate di ordine 3, $A^3=-8I$ e B ortogonale. é giusto affermare che:
1)BA è invertibile
2)se A è simmetrica allora $A=-2I$
3)se A è normale allora A+B è invertibile
io penso che:
1) sia vero in quanto A è simmetrica quindi invertibile, dunque una matrice simmetrica moltiplicata per una ortogonale (anch'essa invertibile) da origine ad una matrice a sua volta invertibile
2)sia vero in quanto se $A^3=-8I$ allora $A=-2I$
3)sia falso in quanto non so se BA=AB cioè non so se il proddotto commuta e questo non mi permette di poter affermare che A+B sia invertibile
secondo voi è giusto il ragionamento che ho fatto per i tre punti?
1)BA è invertibile
2)se A è simmetrica allora $A=-2I$
3)se A è normale allora A+B è invertibile
io penso che:
1) sia vero in quanto A è simmetrica quindi invertibile, dunque una matrice simmetrica moltiplicata per una ortogonale (anch'essa invertibile) da origine ad una matrice a sua volta invertibile
2)sia vero in quanto se $A^3=-8I$ allora $A=-2I$
3)sia falso in quanto non so se BA=AB cioè non so se il proddotto commuta e questo non mi permette di poter affermare che A+B sia invertibile
secondo voi è giusto il ragionamento che ho fatto per i tre punti?
Risposte
1) sì, infatti se chiamo $C$ la matrice tale che $C*BA=I$ scopro che
$C = A^-1*B^-1$
ovviamente l'inversa di B esiste (B è ortogonale), mentre dobbiamo dimostrare che A ha rango massimo, ma sappiamo che il rango del prodotto di matrici è minore o uguale del minimo tra i due ranghi, quindi, dal momento che possiamo vedere $A^3$ come $A*A^2$ e che $-8I$ è sicuramente invertibile (l'inversa è $-1/8 I$), scopriamo che $A$ ha per forza rango massimo, altrimenti il rango di $A^3$ sarebbe minore di 3. (A non si sa se è simmetrica, attento, è una ipotesi del secondo punto)
2)Direi che, per il teorema spettrale, se A è simmetrica è diagonalizzabile, ovvero è simile ad una matrice diagonale tale che elevata al cubo sia $-8I$; questa matrice è certamente $-2I$, ma l'unica matrice simile all'identità è l'identità, quindi A è effettivamente $-2I$. (Hai fatto confusione tra il caso in cui A sia $-2I$ e il caso generale che chiede il problema: non ti chiede di dimostrare che se A è $-2I$ allora $A^3 = -8I$, ti chiede di dimostrare che se A è simmetrica, allora non può che essere $-2I$)
3) cosa significa che una matrice è Normale?
$C = A^-1*B^-1$
ovviamente l'inversa di B esiste (B è ortogonale), mentre dobbiamo dimostrare che A ha rango massimo, ma sappiamo che il rango del prodotto di matrici è minore o uguale del minimo tra i due ranghi, quindi, dal momento che possiamo vedere $A^3$ come $A*A^2$ e che $-8I$ è sicuramente invertibile (l'inversa è $-1/8 I$), scopriamo che $A$ ha per forza rango massimo, altrimenti il rango di $A^3$ sarebbe minore di 3. (A non si sa se è simmetrica, attento, è una ipotesi del secondo punto)
2)Direi che, per il teorema spettrale, se A è simmetrica è diagonalizzabile, ovvero è simile ad una matrice diagonale tale che elevata al cubo sia $-8I$; questa matrice è certamente $-2I$, ma l'unica matrice simile all'identità è l'identità, quindi A è effettivamente $-2I$. (Hai fatto confusione tra il caso in cui A sia $-2I$ e il caso generale che chiede il problema: non ti chiede di dimostrare che se A è $-2I$ allora $A^3 = -8I$, ti chiede di dimostrare che se A è simmetrica, allora non può che essere $-2I$)
3) cosa significa che una matrice è Normale?
una matrice quadrata a valori complessi si definisce normale se $\bar{A}^tA=A\bar{A}^t$
ok allora per il punto 3 non mi viene in mente nessun modo per risalire dalle ipotesi a qualche condizione sul rango della somma, mi spiace...
mmmhh...Ma se una matrice è reale e normale... che succede? Significa che commuta con la propria trasposta. Quindi sicuramente si può diagonalizzare con matrici ortogonali. E quindi tutti gli autovalori devono essere reali. Buh, chissà se serve a qualcosa...
Comunque, vediamo se A+B è invertibile, sapendo che A lo è (cosa che mi pare abbiamo assodato: del resto sai pure qual'è l'inversa. Se $A^3=-8I$, allora $A*(-1/8A^2)=I$ e $-1/8A^2$ è l'inversa). Allora come prima cosa dividiamo per $A$. Passiamo quindi da $A+B$ a $A(I+A^(-1)B)$. Che autovalori può avere $A^(-1)B=-1/8A^2B$? Se sono tutti più piccoli di 1 in modulo (valore assoluto se sono tutti reali, cosa che non mi stupirebbe ma di cui non sono sicuro), allora sicuramente $I+A^(-1)B$ -e quindi $A+B$- è invertibile.
Queste sono un po' di idee su cui io procederei.
[edit]: La parte in rosso è falsa: come esempio prendiamo una qualsiasi matrice di rotazione di $RR^2$. E' ovvio che non ci possono essere autovalori reali, eppure stiamo parlando di matrici ortogonali e quindi normali.
Comunque, vediamo se A+B è invertibile, sapendo che A lo è (cosa che mi pare abbiamo assodato: del resto sai pure qual'è l'inversa. Se $A^3=-8I$, allora $A*(-1/8A^2)=I$ e $-1/8A^2$ è l'inversa). Allora come prima cosa dividiamo per $A$. Passiamo quindi da $A+B$ a $A(I+A^(-1)B)$. Che autovalori può avere $A^(-1)B=-1/8A^2B$? Se sono tutti più piccoli di 1 in modulo (valore assoluto se sono tutti reali, cosa che non mi stupirebbe ma di cui non sono sicuro), allora sicuramente $I+A^(-1)B$ -e quindi $A+B$- è invertibile.
Queste sono un po' di idee su cui io procederei.
[edit]: La parte in rosso è falsa: come esempio prendiamo una qualsiasi matrice di rotazione di $RR^2$. E' ovvio che non ci possono essere autovalori reali, eppure stiamo parlando di matrici ortogonali e quindi normali.
non importa che siano più piccoli di 1, basta che siano tutti diversi da 1, no?
@Zkeggia: Ma certo, hai ragione! Infatti gli autovalori di $I+A^(-1)B$ sono tutti della forma $1+lambda$ dove $lambda$ è un autovalore di $A^(-1)B$. Quindi, addirittura, basta dimostrare che $-1$ non è autovalore di $A^(-1)B=-1/8A^2B$.
Che poi è lo stesso che dimostrare che il ker di A+B è vuoto, infatti:
$(-1/8A^2B)x = -x -> A^3Bx = 8Ax -> -8IBx = 8Ax -> Ax + Bx = 0 -> x in ker (A+B)$
Non capisco dove possa tornare utile l'ipotesi che A sia normale...
$(-1/8A^2B)x = -x -> A^3Bx = 8Ax -> -8IBx = 8Ax -> Ax + Bx = 0 -> x in ker (A+B)$
Non capisco dove possa tornare utile l'ipotesi che A sia normale...
Sulle matrici normali il risultato più importante è il teorema spettrale: le matrici normali sono tutte e sole le matrici diagonalizzabili in base ortonormale.
Detto questo, non avevo notato un'informazione importante. Noi sappiamo a priori che il polinomio caratteristico di $A$ è $t^3+8$. Quindi conosciamo anche gli autovalori di $A$, che sono $-2, 1+i*sqrt(3), 1-i*sqrt(3)$ (Attenzione! Non sono reali. Prima avevo ipotizzato che una matrice reale e normale avesse tutti gli autovalori reali. E' falso.).
Restano da stimare gli autovalori di $A^2B$, per escludere che ce ne sia uno uguale a $8$. (Poi dovremo moltiplicare per $-1/8$). Qui di sicuro servono le proprietà di struttura, A è normale e B è ortogonale.
Detto questo, non avevo notato un'informazione importante. Noi sappiamo a priori che il polinomio caratteristico di $A$ è $t^3+8$. Quindi conosciamo anche gli autovalori di $A$, che sono $-2, 1+i*sqrt(3), 1-i*sqrt(3)$ (Attenzione! Non sono reali. Prima avevo ipotizzato che una matrice reale e normale avesse tutti gli autovalori reali. E' falso.).
Restano da stimare gli autovalori di $A^2B$, per escludere che ce ne sia uno uguale a $8$. (Poi dovremo moltiplicare per $-1/8$). Qui di sicuro servono le proprietà di struttura, A è normale e B è ortogonale.
"Dani88":
siano A e B due matrici reali quadrate di ordine 3, $A^3=-8I$ e B ortogonale. é giusto affermare che:
1)BA è invertibile
Dato che il determinante di $A^3$ è diverso da zero e dato che anche
il determinante di $B$ è $\ne 0$, il prodotto $BA$ (ma anche $AB$)
ha determinante $\ne 0$, quindi $BA$ (ma anche $AB$) è invertibile.
@ Dissonance
Ricordiamoci che se $lambda$ è autovalore per A, allora $lamda^3$ è autovalore per $A^3$
e quali sono gli autovalori di $A^3$? beh, il polinomio caratteristico sarà $(-8-lamda)^3$, qundi l'unico autovalore possibilie è $lamda=-8$, di molteplicità algebrica e geometrica 3.
La matrice $A$ avrà come autovalore solo $-2$.
Ricordiamoci che se $lambda$ è autovalore per A, allora $lamda^3$ è autovalore per $A^3$
e quali sono gli autovalori di $A^3$? beh, il polinomio caratteristico sarà $(-8-lamda)^3$, qundi l'unico autovalore possibilie è $lamda=-8$, di molteplicità algebrica e geometrica 3.
La matrice $A$ avrà come autovalore solo $-2$.
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