Matrici inverse

[pietro1231]

Siano $T: R^2 \rightarrow R^2 , T|(x),(y)| = |(-3x+2y),(x+y)|$ e $ P: R^2 \rightarrow R^2, P|(x),(y)| = |(x-2y),(-x-3y)|$
è vero che $P$ è l'applicazione inversa di $T$?

Ho svolto l'esercizio in questo modo, ma non so se sia giusto:
1) Ho portato in forma matriciale $T$ e $P$ ed ho lavorato sull'inversa di $T$.
2) $T=((1,-2),(-1,-3)) $
3) Calcolo determinante: $det(T)= -3-2 = -5$
4) Calcolo matrice inversa visto che determinante è diverso da zero ed ottengo:
$T^-1 = ((-1/5, 2/5), (1/5, 3/5))$ che posso scrivere anche:
$T^-1 = ((-1, 2), (1, 3))$
che è proprio la matrice $P = ((1, -2), (-1, -3))$ solo che tutto è moltiplicato per $-1$

Spero di aver fatto tutti nel migliore dei modi. Purtroppo non ci sono i risultati sui fac-simile dei compiti di esame, altrimenti non avrei mai aperto il post.

[feddy]

Se fosse la funzione inversa dovresti avere che $T \circ P=P\circT=id$.

Ovvero dovresti avere che $T\circP(x,y)=(x,y)$.

[pietro1231]

"feddy":Se fosse la funzione inversa dovresti avere che $T \circ P=P\circT=id$.

Ovvero dovresti avere che $T\circP(x,y)=(x,y)$.

Cioè??? Non sto capendo... Nel nostro caso come si procede?
In questo caso se moltiplico $T$ e $P$ ottengo:
$((-3, 2), (1, 1)) * ((1, -2), (-1, -3)) = ((-5, 0), (0, -5))$ che dividendo per $-5 $ si ottiene proprio la matrice identita $I_2 =((1, 0), (0, 1))$

[feddy]

Io non stavo ragionando sulle matrici, ma sulla definizione di applicazione inversa.

Se fossero una l'inversa dell'altra, la loro composizione da l'identità.

Ora, prendi un generico vettore $[x,y]^T$.
$T(P(x,y))=T(x-2y,-x-3y)=...$ Se ritorna $(x,y)$, allora sono una l'inversa dell'altra, altrimenti no.

[pietro1231]

"feddy":Io non stavo ragionando sulle matrici, ma sulla definizione di applicazione inversa.

Se fossero una l'inversa dell'altra, la loro composizione da l'identità.

Ora, prendi un generico vettore $[x,y]^T$.
$T(P(x,y))=T(x-2y,-x-3y)=...$ Se ritorna $(x,y)$, allora sono una l'inversa dell'altra, altrimenti no.

Prendo un generico vettore $(x,y)$ canonico e calcolo $T(P(x,y))=T(x-2y,-x-3y)$ giusto?
ma non riesco a capire come proseguire...

[feddy]

Come agisce l'applicazione $T$? O meglio, cosa fa $T(x-2y,-x-3y)$? Devi usare la definizione di $T$

[pietro1231]

"feddy":Come agisce l'applicazione $T$? O meglio, cosa fa $T(x-2y,-x-3y)$? Devi usare la definizione di $T$

$T(x,y)=(-3x+2y,x+y)$
Quindi $T(x-2y,-x-3y)=(-3x+2y,x+y)$? Giusto?

[feddy]

No. $T[x-2y,-x-3y]=[-3(x-2y)+2*(-x-3y), -5y]=...$

[pietro1231]

"feddy":No. $T[x-2y,-x-3y]=[-3(x-2y)+2*(-x-3y), -5y]=...$

Ah... sisi... giusto ho svolto male il cambio
Otteniamo alla fine $[-5x,-5y]$ che può essere scritta anche come $-5[x,y]$
Quindi abbiamo riottenuto $(x,y)$ così come mi dicevi

[feddy]

No. Il risultato è [-5x,-5y] (come dovevi aspettarti dopo aver fatto i conti con le matrici). Quindi non è l'applicaizone inversa. Per poterlo essere, avresti dovuto trovare proprio il vettore che gli hai dato in pasto in partenza, ossia $[x,y]$

[pietro1231]

"feddy":No. Il risultato è [-5x,-5y] (come dovevi aspettarti dopo aver fatto i conti con le matrici). Quindi non è l'applicaizone inversa. Per poterlo essere, avresti dovuto trovare proprio il vettore che gli hai dato in pasto in partenza, ossia $[x,y]$

Ah... OkOK... Perfetto
L'avevo risolto... e poi ho fatto una gran cappella
Grazie mille

[feddy]

Di nulla