Matrici idempotenti
Io posso aiutarti su a), b) e d). Non conosco però alcun riferimento dove poter trovare queste cose...
a) Se $\lambda$ è autovalore di $A$ esiste $v$ non nullo tale che $Av=\lambda v$.
Quindi $A^2v=\lambda^2 v$.
Visto che $A^2=A$, si ha che $(\lambda^2-\lambda)v=0$ e perciò $\lambda(\lambda-1)=0$. Da cui $\lambda\in\{0,1\}$.
b) Scrivendo $A$ in forma canonica di Jordan $J$, $A$ e $J$ hanno la stessa traccia e lo stesso rango. Inoltre anche $J$ è idempotente. Ma $J$ è idempotente se e solo se è diagonale. Quindi $J$ è una matrice diagonale con $0$ e $1$ sulla diagonale e la sua traccia è uguale al suo rango.
c) Non so, ci dovrei pensare...
d) Di nuovo, se $J$ è la forma canonica di Jordan (simile ad $A$, cioè $A=MJM^{-1}$, con $M$ matrice non degenere), si ha che
$I-A=MM^{-1}-MJM^{-1}=M(I-J)M^{-1}$.
$\Rightarrow rank(I-A)=rank(I-J)$
E visto che $J$ è nella forma vista in b), si ha la tesi.
Edit: No, calma, forse sono stato troppo affrettato. Nella d) tu dici "idempotente di ordine $p$". Forse volevi dire "di rango $p$"? Se è così ok, altrimenti ci devo pensare meglio
...
a) Se $\lambda$ è autovalore di $A$ esiste $v$ non nullo tale che $Av=\lambda v$.
Quindi $A^2v=\lambda^2 v$.
Visto che $A^2=A$, si ha che $(\lambda^2-\lambda)v=0$ e perciò $\lambda(\lambda-1)=0$. Da cui $\lambda\in\{0,1\}$.
b) Scrivendo $A$ in forma canonica di Jordan $J$, $A$ e $J$ hanno la stessa traccia e lo stesso rango. Inoltre anche $J$ è idempotente. Ma $J$ è idempotente se e solo se è diagonale. Quindi $J$ è una matrice diagonale con $0$ e $1$ sulla diagonale e la sua traccia è uguale al suo rango.
c) Non so, ci dovrei pensare...
d) Di nuovo, se $J$ è la forma canonica di Jordan (simile ad $A$, cioè $A=MJM^{-1}$, con $M$ matrice non degenere), si ha che
$I-A=MM^{-1}-MJM^{-1}=M(I-J)M^{-1}$.
$\Rightarrow rank(I-A)=rank(I-J)$
E visto che $J$ è nella forma vista in b), si ha la tesi.
Edit: No, calma, forse sono stato troppo affrettato. Nella d) tu dici "idempotente di ordine $p$". Forse volevi dire "di rango $p$"? Se è così ok, altrimenti ci devo pensare meglio
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Risposte
Scusami Sergio, forse c'è qualcosa che non va. Credo che la c) non si possa dimostrare semplicemente perchè...è falsa!
Considera $A=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$. $A$ è idempotente di rango $2$.
Posto $U=((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$, si ha che $A-\frac{1}{3}U=((\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}),(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}),(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}))$.
Ma $rank(A-\frac{1}{3}U)=3$ e non $1$ come ci aspettavamo!!! Ho capito male la traccia o è il problema ad essere formulato male?
Considera $A=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$. $A$ è idempotente di rango $2$.
Posto $U=((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$, si ha che $A-\frac{1}{3}U=((\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}),(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}),(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}))$.
Ma $rank(A-\frac{1}{3}U)=3$ e non $1$ come ci aspettavamo!!! Ho capito male la traccia o è il problema ad essere formulato male?
Credo di aver capito in cosa consiste il problema, ma purtroppo non ho nemmeno una lontana idea su come fare a dimostrarlo 
Stiamo cercando di dimostrare che la matrice hat $H$ è tale che $H-\frac{1}{n}U$ è idempotente.
Per capire ciò è sufficiente mostrare che vale la condizione:
"la somma degli elementi di ogni riga di $H$ è uguale alla somma degli elementi di ogni colonna di $H$ entrambi uguali a $1$".
Sarà così? E se sì, come si può fare? Boh... Se mi viene in mente qualcosa, ti farò sapere.
Stiamo cercando di dimostrare che la matrice hat $H$ è tale che $H-\frac{1}{n}U$ è idempotente.
Per capire ciò è sufficiente mostrare che vale la condizione:
"la somma degli elementi di ogni riga di $H$ è uguale alla somma degli elementi di ogni colonna di $H$ entrambi uguali a $1$".
Sarà così? E se sì, come si può fare? Boh... Se mi viene in mente qualcosa, ti farò sapere.
Ah, dimenticavo...
Bella questa osservazione, cioe se vale b) allora vale anche c). Mi piace!
"Sergio":
Se le somme di riga e di colonna di $H$ sono tutte $1$, credo si risolverebbe anche c): se $H-1/nU$ è idempotente, il suo rango è uguale alla sua traccia, ma $"tr"(H-1/nU)="tr"(H)-"tr"(1/nU)$, dove $"tr"(H)=p$ e $"tr"(1/nU)=n \cdot 1/n=1$, quindi $"rk"(H-1/nU)="tr"(H-1/nU)=p-1$.
Bella questa osservazione, cioe se vale b) allora vale anche c). Mi piace!
Perfetto, proprio quello che ci serviva!
E' stato un piacere aiutarti, grazie a te sono andato a rivedere alcune cosette che avevo visto tempo fa.
Alla prossima, ciao!
E' stato un piacere aiutarti, grazie a te sono andato a rivedere alcune cosette che avevo visto tempo fa.
Alla prossima, ciao!
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