Matrici Esponenziali

[DarioBaldini]

Ciao a tutti,

ho un esercizio con cui non riesco a venire a capo.

Devo dimostrare che :

$ e^(tA) = ((cos(t), -sin(t)),(sin(t),cos(t)))$

$A=((0,1),(-1,0))$

A non ha autovalori. Io ho provato anche con la formula di eulero a sostituire e con il seno e il coseno ma penso che non valga in quanto t non é uguale a i numero immaginario.

ho provato anche ad utilzzare la serie che definisce la funzione esponenziale ed analizzarla per numeri pari e dispari ma non ho trovato nulla di sensato...

[cirasa]

"DarioBaldini":$A=((0,1),(-1,0))$
A non ha autovalori.

$A$ non ha autovalori reali. Prova a diagonalizzarla sul campo complesso.
Non ho provato, ma secondo me dovrebbe filare tutto liscio.

[DarioBaldini]

"cirasa":[quote="DarioBaldini"]$A=((0,1),(-1,0))$
A non ha autovalori.

$A$ non ha autovalori reali. Prova a diagonalizzarla sul campo complesso.
Non ho provato, ma secondo me dovrebbe filare tutto liscio.[/quote]

ho trovato il polinomio caratteristico $ x^2 +1$

da qui i due autovalori complessi. $ lambda_1 = i $ $ lambda_2 = -i $

da questi due autovalori ho trovato gli autovettori. $ v_1 = {-i,1}$
$v_2 = {i,1}$

ok quindi la matrice diagonalizzata é semplicemente l´incolonnamento dei vettori trovati.

provo a fare un pö di calcoli con questa..

[mistake89]

La matrice diagonalizzata deve avere forma diagonale, quindi sicuramente non è. (La matrice diagonale è quella che ha gli autovalori sulla diagonale).
Incolonnando quei vettoi (autovettori precisamente) ottieni la matrice diagonalizzante.

[DarioBaldini]

"mistake89":La matrice diagonalizzata deve avere forma diagonale, quindi sicuramente non è. (La matrice diagonale è quella che ha gli autovalori sulla diagonale).
Incolonnando quei vettoi (autovettori precisamente) ottieni la matrice diagonalizzante.

ho provato a usare questa nuova matrice nella formula e sostituendo tutto trovo questo,


$ e^(tA) = ((e^(-ti), e^(ti)),(e^t, e^t))$

si puö fare una cosa del genere?

quello che mi verrebe ora da fare é usare la formula di eulero, ma anche usandola non riescirei lo stesso a dimostrare la formula che dovrei dimostrare