Matrici equivalenti per righe ed autovalori
Ciao a tutti avrei una piccola domanda. Nel seguente esercizio:
Trovare gli autovalori delle matrici \(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \) e \(\displaystyle B = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} \) ed osservare che \(\displaystyle A \sim B \).
Gli autovalori sono istantanei da calcolare in questo caso... per la prima matrice sono \(\displaystyle \lambda_1 = 0,\lambda_2=2 \) per l'altra \(\displaystyle \lambda_1 = 0,\lambda_2=1 \)... Ma cosa dovrei dedurre dal fatto che le matrici sono equivalenti per righe? Mi sfugge il nesso...
(Ho iniziato solo oggi lo studio degli autovalori e degli autovettori, quindi se è qualcosa di ovvio mi scuso per la sciocca domanda, meno lavoro per chi risponde hahaha)
Grazie come al solito dell'aiuto!
Trovare gli autovalori delle matrici \(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \) e \(\displaystyle B = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} \) ed osservare che \(\displaystyle A \sim B \).
Gli autovalori sono istantanei da calcolare in questo caso... per la prima matrice sono \(\displaystyle \lambda_1 = 0,\lambda_2=2 \) per l'altra \(\displaystyle \lambda_1 = 0,\lambda_2=1 \)... Ma cosa dovrei dedurre dal fatto che le matrici sono equivalenti per righe? Mi sfugge il nesso...
(Ho iniziato solo oggi lo studio degli autovalori e degli autovettori, quindi se è qualcosa di ovvio mi scuso per la sciocca domanda, meno lavoro per chi risponde hahaha)
Grazie come al solito dell'aiuto!
Risposte
Forse l'idea era far osservare che matrici equivalenti per righe non necessariamente hanno gli stessi autovalori.
Le due matrici sono congruenti.
Forse la tilde indica appunto ciò.
Forse la tilde indica appunto ciò.
Il mio professore di algebra indica con tilde l'equivalenza per righe solitamente... Quindi non esiste alcuna relazione tra matrici ridotte per righe ed autovalori è esatto?
Appunto, la congruenza è una relazione di equivalenza.
"Bokonon":Cosa intendi per congruenza?
Appunto, la congruenza è una relazione di equivalenza.
"Martino":[/quote]
[quote="Bokonon"]Cosa intendi per congruenza?
Ciao Martino!
La definizione classica è che date due matrici A e B, si dicono congruenti se esiste una matrice invertibile M tale che: $MAM^T=B$
Ma fondamentalmente, la definizione più profonda IMHO è che due matrici sono congruenti se hanno la stessa segnatura.
Le due matrici dell'esempio hanno la medesima segnatura, quindi le due matrici sono in una relazione di equivalenza.
Il punto è che non vedo altra chiara relazione fra le due matrici che le leghi in base agli autovalori.
"Martino":
Forse l'idea era far osservare che matrici equivalenti per righe non necessariamente hanno gli stessi autovalori.
Credo allora che il mio prof volesse far notare questo... Poiché ancora di congruenza tra matrici e segnatura non ne ha proprio parlato. Grazie ad entrambi dell'aiuto! Fantastici come al solito.
"Bokonon":
Le due matrici dell'esempio hanno la medesima segnatura, quindi le due matrici sono in una relazione di equivalenza.
Ciao!
Ma per parlare di congruenza e segnatura bisogna considerare matrici simmetriche, altrimenti i teoremi sulla segnatura non valgono. Per esempio le matrici considerate qui non hanno gli stessi autovalori, quindi non possono essere congruenti.
@Martino
Ops ..sono cecato
Ops ..sono cecato
Perdonate l'intrusione, ma cosa si intende per "matrici equivalenti per righe"?
Non ne ho mai sentito parlare fino ad ora, a meno che non lo conosca con un altro nome :/
Non ne ho mai sentito parlare fino ad ora, a meno che non lo conosca con un altro nome :/
"Lebesgue":
... cosa si intende per "matrici equivalenti per righe"?
Dovrebbero essere le matrici che si ottengono sostituendo, a una riga, una qualsiasi combinazione lineare delle righe medesime. In pratica, i sistemi lineari omogenei associati ammettono le stesse soluzioni.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Lebesgue"]
... cosa si intende per "matrici equivalenti per righe"?
Dovrebbero essere le matrici che si ottengono sostituendo, a una riga, una qualsiasi combinazione lineare delle righe medesime.[/quote]Non esattamente, altrimenti potremmo sostituire ogni riga con la prima riga ottenendo tutte le righe uguali, il che è un cammino irreversibile.
Due matrici $A$ e $B$ si dicono equivalenti per righe se esiste una sequenza finita di operazioni elementari sulle righe che portano dalla matrice $A$ alla matrice $B$. Le operazioni elementari sulle righe sono le seguenti:
1. Scambiare di posto due righe.
2. Moltiplicare una riga per uno scalare diverso da zero.
3. Sostituire la riga $R_i$ (la riga $i$), diciamo, con $R_i+lambda R_j$, dove $j ne i$ e $lambda$ è uno scalare.
E' possibile mostrare che $A$ e $B$ sono equivalenti per righe se e solo se esiste una matrice invertibile $C$ tale che $CA=B$. Se in tutto questo scriviamo "colonna" ogni volta che c'è scritto "riga" allora otteniamo l'equivalenza per colonne, e $A$ e $B$ sono equivalenti per colonne se e solo se esiste una matrice invertibile $C$ tale che $AC=B$.
Se combiniamo le operazioni di riga e di colonna otteniamo l'equivalenza per riga/colonna, cioè due matrici sono equivalenti per riga/colonna se e solo se esiste una sequenza di operazioni elementari, ciascuna sulle righe o sulle colonne, che portano una matrice nell'altra. Da quanto scritto sopra è chiaro che $A$ e $B$ sono equivalenti per riga/colonna se e solo se $CAD=B$ per opportune matrici invertibili $C$, $D$. Questa relazione di equivalenza è interessante perché classifica le matrici per rango, in altre parole due matrici $n times m$ sono riga/colonna-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.
Dal punto di vista delle trasformazioni lineari, passare a una matrice riga-equivalente corrisponde a cambiare base al codominio, passare a una matrice colonna-equivalente corrisponde a cambiare base al dominio.
Hai ragione. Intendevo essenzialmente questo:
Insomma, ho scritto uno strafalcione.
"Martino":
3. Sostituire la riga $R_i$ (la riga $i$), diciamo, con $R_i+lambda R_j$, dove $j ne i$ e $lambda$ è uno scalare.
Insomma, ho scritto uno strafalcione.
"Martino":
Se combiniamo le operazioni di riga e di colonna otteniamo l'equivalenza per riga/colonna, cioè due matrici sono equivalenti per riga/colonna se e solo se esiste una sequenza di operazioni elementari, ciascuna sulle righe o sulle colonne, che portano una matrice nell'altra. Da quanto scritto sopra è chiaro che $A$ e $B$ sono equivalenti per riga/colonna se e solo se $CAD=B$ per opportune matrici invertibili $C$, $D$. Questa relazione di equivalenza è interessante perché classifica le matrici per rango, in altre parole due matrici $n times m$ sono riga/colonna-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.
Dal punto di vista delle trasformazioni lineari, passare a una matrice riga-equivalente corrisponde a cambiare base al codominio, passare a una matrice colonna-equivalente corrisponde a cambiare base al dominio.
A questa non avevo lontanamente pensato, molto utile, grazie tante come al solito... Hai rinfrescato molti concetti che stavo iniziando a dare per scontato.
"Martino":
Non esattamente, altrimenti potremmo sostituire ogni riga con la prima riga ottenendo tutte le righe uguali, il che è un cammino irreversibile.
Due matrici $A$ e $B$ si dicono equivalenti per righe se esiste una sequenza finita di operazioni elementari sulle righe che portano dalla matrice $A$ alla matrice $B$. Le operazioni elementari sulle righe sono le seguenti:
1. Scambiare di posto due righe.
2. Moltiplicare una riga per uno scalare diverso da zero.
3. Sostituire la riga $R_i$ (la riga $i$), diciamo, con $R_i+lambda R_j$, dove $j ne i$ e $lambda$ è uno scalare.
E' possibile mostrare che $A$ e $B$ sono equivalenti per righe se e solo se esiste una matrice invertibile $C$ tale che $CA=B$. Se in tutto questo scriviamo "colonna" ogni volta che c'è scritto "riga" allora otteniamo l'equivalenza per colonne, e $A$ e $B$ sono equivalenti per colonne se e solo se esiste una matrice invertibile $C$ tale che $AC=B$.
Se combiniamo le operazioni di riga e di colonna otteniamo l'equivalenza per riga/colonna, cioè due matrici sono equivalenti per riga/colonna se e solo se esiste una sequenza di operazioni elementari, ciascuna sulle righe o sulle colonne, che portano una matrice nell'altra. Da quanto scritto sopra è chiaro che $A$ e $B$ sono equivalenti per riga/colonna se e solo se $CAD=B$ per opportune matrici invertibili $C$, $D$. Questa relazione di equivalenza è interessante perché classifica le matrici per rango, in altre parole due matrici $n times m$ sono riga/colonna-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.
Dal punto di vista delle trasformazioni lineari, passare a una matrice riga-equivalente corrisponde a cambiare base al codominio, passare a una matrice colonna-equivalente corrisponde a cambiare base al dominio.
Aaah perfetto, ho capito! L'equivalenza righe/colonne è quella che io conosco come SD-equivalenza (e per cui, appunto, il rango è un invariante completo).
Invece l'equivalenza per righe è la S-equivalenza (brutally, perché deve esistere una matrice $C$ invertibile tale per cui $CA=B$ e quindi moltiplichi a sx) e quella per colonne è la D-equivalenza (perché moltiplico a dx)
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