Matrici elementari
Studiando queste matrici: $E(sigma, u, v)=I-sigmauv^H$ dove $sigma\inCC, u,v\inCC^n$ (si usano in ambito numerico) mi è venuta la curiosità di capire perché si chiamino "elementari". Vuoi vedere che ogni matrice quadrata complessa è il prodotto di un certo numero di matrici elementari? La proprietà fondamentale di queste matrici è: comunque prendiamo due vettori $x. y\inCC^n$ non nulli, esiste una matrice elementare $E(sigma, u, v)$ che trasforma $x$ in $y$. Questo mi fa pensare che forse la domanda di prima ha risposta affermativa. Che dite?
Risposte
A quanto ne so si chiamano elementari perchè si ottengono (come vedi dalla definizione) dall'identità più una correzione di rango 1.
Forse la supposizione di prima è vera, senza neanche andare troppo lontano. Prendiamo ad esempio la fattorizzazione LU. Sotto certe ipotesi A=LU, ed L è il prodotto di un certo numero di matrici elementari (di Gauss). Non ho fatto i conti ma non vedo la difficoltà nel dire che pure U è il prodotto di matrici elementari. Quindi la matrice A è prodotto di matrici elementari.
Lo stesso discorso si può fare con ogni fattorizzazione. Quella LU non esiste sempre, ma quella QR, ad esempio, sì.
Lo stesso discorso si può fare con ogni fattorizzazione. Quella LU non esiste sempre, ma quella QR, ad esempio, sì.
Non lo so se è vero. Sia le matrici elementari di Gauss (per LU) sia le elementari di Householder (per QR) sono matrici molto particolari. Ad esempio le matrici di Gauss trasformano un vettore x in $x_ie_i$, le matrici di Householder in $alphax_i$ dove $alpha$ è una funzione particolare di x.
In generale è vero che dati due vettori non nulli c'è una matrice elementare che li trasforma l'uno nell'altro. Anzi puoi dire anche che c'è una matrice elementare invertibile che li trasforma l'uno nell'altro però in generale non è nè una Gauss nè una Householder.
Quindi se è vera la cosa che dici può darsi che per una generica matrice tu debba prendere matrici elementari nè di Gauss nè di Householder insomma cose bruttissime un po' difficili da trattare. Non so bisognerebbe pensarci.
In generale è vero che dati due vettori non nulli c'è una matrice elementare che li trasforma l'uno nell'altro. Anzi puoi dire anche che c'è una matrice elementare invertibile che li trasforma l'uno nell'altro però in generale non è nè una Gauss nè una Householder.
Quindi se è vera la cosa che dici può darsi che per una generica matrice tu debba prendere matrici elementari nè di Gauss nè di Householder insomma cose bruttissime un po' difficili da trattare. Non so bisognerebbe pensarci.
Beh, no, se una matrice non singolare ha la fattorizzazione LU penso che la cosa sia abbastanza facile. Infatti A=LU, L è già prodotto di mat. di Gauss. La U può essere moltiplicata a destra per matrici di Gauss e diventa una matrice diagonale.
Sostanzialmente fai l'algoritmo di Gauss per colonne: siccome la diagonale principale di U non contiene zeri, arrivi a destinazione e ottieni una cosa tipo U*(mat. di Gauss)=D. Una matrice diagonale pure è prodotto di matrici di Gauss, se non mi sbaglio... quindi U*(Gauss)=(altro Gauss) quindi U è prodotto di matrici di Gauss. Questo poi non è neanche tanto strano: mi pare che si chiami "algoritmo di Gauss-Jordan".
Detto questo non penso che di questa cosa ce ne facciamo niente. E' vero che le matrici elementari possono velocizzare i conti, ma per fattorizzare una matrice (non singolare e LU fattorizzabile) in mat. elementari servirebbe fare sostanzialmente due volte la fattorizzazione LU. Probabilmente il gioco non vale la candela.
Sostanzialmente fai l'algoritmo di Gauss per colonne: siccome la diagonale principale di U non contiene zeri, arrivi a destinazione e ottieni una cosa tipo U*(mat. di Gauss)=D. Una matrice diagonale pure è prodotto di matrici di Gauss, se non mi sbaglio... quindi U*(Gauss)=(altro Gauss) quindi U è prodotto di matrici di Gauss. Questo poi non è neanche tanto strano: mi pare che si chiami "algoritmo di Gauss-Jordan".
Detto questo non penso che di questa cosa ce ne facciamo niente. E' vero che le matrici elementari possono velocizzare i conti, ma per fattorizzare una matrice (non singolare e LU fattorizzabile) in mat. elementari servirebbe fare sostanzialmente due volte la fattorizzazione LU. Probabilmente il gioco non vale la candela.
La fattorizzazione che hai detto si chiama effettivamente metodo di Gauss-Jordan e praticamente non si fa in serie ma in parallelo, cioè usi come matrici elementari cose di questo genere
$((1,,x,,),(,1,x,,),(,,1,,),(,,x,1,),(,,x,,1))$
mentre nel metodo di Gauss <> usi cose di questo genere:
$((1,,,,),(,1,,,),(,,1,,),(,,x,1,),(,,x,,1))$.
Come la scrivi una diagonale come prodotto di matrici di Gauss?
Esempio: $((1,),(,2))$
$((1,,x,,),(,1,x,,),(,,1,,),(,,x,1,),(,,x,,1))$
mentre nel metodo di Gauss <
$((1,,,,),(,1,,,),(,,1,,),(,,x,1,),(,,x,,1))$.
Come la scrivi una diagonale come prodotto di matrici di Gauss?
Esempio: $((1,),(,2))$
Ah cioè tu dici che una matrice di Gauss è necessariamente una cosa tipo $[[1,,,,],[,ddots,,,],[,,1,,],[,,**,1,],[,,vdots,,1],[,,vdots,,]]$? Secondo il Bini-Capovani-Menchi hai ragione. Invece secondo il Sernesi sono matrici elementari di Gauss tutte quelle che moltiplicate a sinistra, realizzano un'operazione elementare sulle righe di una matrice...mi stavo confondendo con queste.
Ma secondo me
Non ce ne faremo granché, ma penso sia vero. Per esempio $((1,0),(0,2))=((1,0),(0,sqrt(2)))^2$. E $((1,0),(0,sqrt(2)))=I-((0,0),(0,1-sqrt(2)))$. che è una matrice elementare (anche se non di Gauss).
Una dimostrazione si può dare considerando la fattorizzazione QR, che esiste sempre se non sbaglio. Allora A=QR, Q è prodotto di mat. di Householder, R è triangolare superiore quindi mediante Gauss-Jordan la riduciamo in forma diagonale...c'è da vedere i vari casi, ma in qualche maniera si arriva.
Ma secondo me
"Megan00b":è vero.
può darsi che per una generica matrice tu debba prendere matrici elementari nè di Gauss nè di Householder insomma cose bruttissime un po' difficili da trattare.
Non ce ne faremo granché, ma penso sia vero. Per esempio $((1,0),(0,2))=((1,0),(0,sqrt(2)))^2$. E $((1,0),(0,sqrt(2)))=I-((0,0),(0,1-sqrt(2)))$. che è una matrice elementare (anche se non di Gauss).
Una dimostrazione si può dare considerando la fattorizzazione QR, che esiste sempre se non sbaglio. Allora A=QR, Q è prodotto di mat. di Householder, R è triangolare superiore quindi mediante Gauss-Jordan la riduciamo in forma diagonale...c'è da vedere i vari casi, ma in qualche maniera si arriva.
Ti suggerisco (pur non sapendo dove porti) di lavorare sugli autovalori visto che ogni matrice elementare ha 0 o 1 autovalore non nullo e ha una forma molto semplice (...sai qual è?). E poi pensi alla forma di Shur o a qualunque altro modo per evidenziare gli autovalori di una matrice complessa.
Si ho capito. In pratica tu mi consigli di non usare la fattorizzazione QR ma la forma canonica di Schur. Questo perché noi sappiamo che le matrici unitarie sono fattorizzabili in matrici di Householder (almeno credo... ma non mi pare troppo inverosimile).
Quindi:
sia $A$ mat. complessa $ntimesn$, $A=UTU^H$. $U$ si fattorizza (da verificare ma penso sia vero)
Prima domanda:
$T$ si fattorizza? Se si, in quali matrici elementari?
Ricordiamoci che gli autovalori di $E(sigma, u, v)$ sono $1$ e $1-sigmav^Hu$.
Tu dici:
vuoi vedere che, se $T$ si fattorizza in matrici elementari, i suoi autovalori sono in qualche relazione con gli autovalori delle matrici elementari? Anche questo è da stabilire.
Quindi:
sia $A$ mat. complessa $ntimesn$, $A=UTU^H$. $U$ si fattorizza (da verificare ma penso sia vero)
Prima domanda:
$T$ si fattorizza? Se si, in quali matrici elementari?
Ricordiamoci che gli autovalori di $E(sigma, u, v)$ sono $1$ e $1-sigmav^Hu$.
Tu dici:
vuoi vedere che, se $T$ si fattorizza in matrici elementari, i suoi autovalori sono in qualche relazione con gli autovalori delle matrici elementari? Anche questo è da stabilire.
Sì ti ho detto non ho idea dove si vada a finire...però un senso sembra averlo...
Mah, senti, a me pare che la fattorizzazione sia possibile, almeno per matrici $T$ non singolari. Prendiamo $T=[[lambda_1, ldots, t_{1,n}],[vdots, ddots, vdots],[0, ldots, lambda_n]]$. Al primo passo, moltiplichiamo a destra per $[[1, (t_{1,2})/(lambda_1), ldots, (t_{1, n})/(lambda_1)], [0, 1, ldots, 0], [, , ddots,],[0, 0, ldots, 1]]$. Otteniamo una matrice con la prima riga $[lambda_1, 0, ldots, 0]$. Facciamo $n$ passi così e abbiamo $TE_1ldotsE_n="diag"(lambda_1, ldots, lambda_n)$. Che poi non è niente di particolare: solo l'algoritmo di Gauss fatto per colonne anziché per righe.
L'ultima cosa da fare è fattorizzare la matrice diagonale in matrici elementari. E questo è il succo del discorso, visto che fino adesso non abbiamo toccato gli autovalori. Da pensarci un po'.
L'ultima cosa da fare è fattorizzare la matrice diagonale in matrici elementari. E questo è il succo del discorso, visto che fino adesso non abbiamo toccato gli autovalori. Da pensarci un po'.
Pure la matrice diagonale si fattorizza in matrici elementari. Basta fare così:
$[[lambda_1, ldots, 0],[,ddots,],[0,ldots, lambda_n]]="diag"(lambda_1, 1, ldots, 1)*"diag"(1, lambda_2, 1, ldots, 1)*ldots*"diag"(1, ldots, 1, lambda_n)$. Ogni $"diag"(1, ldots, 1, lambda_i, 1, ldots, 1)=I-"diag"(0, ldots, 0, 1-lambda_i, 0, ldots, 0)$ che è l'identità con una correzione di rango 1.
$[[lambda_1, ldots, 0],[,ddots,],[0,ldots, lambda_n]]="diag"(lambda_1, 1, ldots, 1)*"diag"(1, lambda_2, 1, ldots, 1)*ldots*"diag"(1, ldots, 1, lambda_n)$. Ogni $"diag"(1, ldots, 1, lambda_i, 1, ldots, 1)=I-"diag"(0, ldots, 0, 1-lambda_i, 0, ldots, 0)$ che è l'identità con una correzione di rango 1.
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