Matrici e polinomio minimo
Qualcuno può dirmi come impostare questo esercizio?
Sia $ A_kinM_n(CC) $ una matrice con polinomio minimo $ 1/6(3t - 1)(2t - 1)(t - k) $ con $ kinCC $ .
Determinare per quali valori di $ k $ la matrice $ A_k $ è invertibile.
Volevo anche una conferma su un altro esercizio: data una matrice dipendente da un parametro che rappresenta una generica forma quadratica, questa rappresenta un prodotto interno se è simmetrica e definita positiva?
Grazie in anticipo.
Sia $ A_kinM_n(CC) $ una matrice con polinomio minimo $ 1/6(3t - 1)(2t - 1)(t - k) $ con $ kinCC $ .
Determinare per quali valori di $ k $ la matrice $ A_k $ è invertibile.
Volevo anche una conferma su un altro esercizio: data una matrice dipendente da un parametro che rappresenta una generica forma quadratica, questa rappresenta un prodotto interno se è simmetrica e definita positiva?
Grazie in anticipo.
Risposte
Per quanto riguarda il primo esercizio, potresti notare che gli autovalori di una matrice corrispondono alle radici del polinomio minimo (sebbene in generale le molteplicità non corrispondono). Con questo consiglio riusciresti a concludere?
Per il secondo esercizio: direi di sì.
Per il secondo esercizio: direi di sì.
A me verrebbe da dire che è invertibile $ AA k!=0 $ poiché $ k=0 $ è l'unico caso in cui ha rango minore di n... e giusto?
Perché deve essere definita positiva per essere un prodotto interno?
Direi che è giusta invece la questione dello $0$ come autovalore
Direi che è giusta invece la questione dello $0$ come autovalore
Il problema sul prodotto interno è sorto risolvendo questo esercizio:
Sia $ phi_h:RR^3->RR $ la forma quadratica rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice
$ ( ( 1 , h-2 , 0 ),( h-2 , h , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) ) $
(a) Si determini per quali valori del parametro reale h la forma $ phi_h $ un prodotto interno.
(b) Per h = 3; si determini una base di $ RR^3 $ ortonormale rispetto al prodotto interno $ phi_3 $ ; e contenente il vettore (1;0;0)...
Se per essere un prodotto interno $ phi_h $ deve essere definita positiva non ha senso il punto (b) (poiché per h = 3 la forma quadratica non è definita positiva), ma se l'unica condizione è la simmetria non ha senso il punto (a) poiché è già simmetrica...
Sia $ phi_h:RR^3->RR $ la forma quadratica rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice
$ ( ( 1 , h-2 , 0 ),( h-2 , h , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) ) $
(a) Si determini per quali valori del parametro reale h la forma $ phi_h $ un prodotto interno.
(b) Per h = 3; si determini una base di $ RR^3 $ ortonormale rispetto al prodotto interno $ phi_3 $ ; e contenente il vettore (1;0;0)...
Se per essere un prodotto interno $ phi_h $ deve essere definita positiva non ha senso il punto (b) (poiché per h = 3 la forma quadratica non è definita positiva), ma se l'unica condizione è la simmetria non ha senso il punto (a) poiché è già simmetrica...
Nella definizione di prodotto interno (che per quanto mi riguarda è sinonimo di prodotto scalare), si richiede
\[\langle v , v \rangle > 0\]
per ogni $v$ non nullo. Questo dovrebbe voler dire che la matrice associata è definita positiva. Sbaglio qualcosa?
\[\langle v , v \rangle > 0\]
per ogni $v$ non nullo. Questo dovrebbe voler dire che la matrice associata è definita positiva. Sbaglio qualcosa?
È un modo di definirlo si vede..
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