Matrici e diagonalizzazione

[dumbapple]

Buongiorno, il titolo forse non è dei migliori, ma ho una domanda da fare a cui non riesco a dare una risposta (nella situazione attuale). Questa domanda è stata proposta ad un esame di Fondamenti di algebra lineare e geometria per ingegneria, ed è la seguente:

Siano A e B due matrici per cui esiste una base V = {v1, ... , vn} di autovettori per entrambe (non necessariamente relativi agli stessi autovalori). E' vero che AB = BA?

Ora io non riesco a capire così com'è formulata la domanda se A e B sono matrici dello stesso endomorfismo o meno, non capisco se la base è uguale per entrambe e non capisco nemmeno cosa significhi "non necessariamente relativi agli stessi autovalori".
In generale, poi, il prodotto tra matrici non è commutativo. Qualcuno mi da un aiuto a capire meglio e a risolvere la domanda?

[killing_buddha]

Per come e' scritta la domanda (e se non ho capito male), la risposta e' si', e' vero.
Il motivo e' che c'e' una base in cui A e' diagonale con certi scalari \(a_1,\dots, a_r\) e $B$, nella stessa base, e' diagonale con certi scalari \(b_1,\dots, b_s\) (ammetto ripetizioni cosicche' gli $a_i$ e i $b_j$, contati con molteplicita', siano esattamente $n$). Allora, dato che la sottoalgebra delle matrici diagonali e' commutativa perche' isomorfa al prodotto diretto di $n$ copie dell'anello dei coefficienti, sai che $AB=BA$.