Matrici e calcolo di soluzioni del sistema

[martina_c.96]

Salve a tutti!! Da poco ho fatto un esame di matematica dove ho trovato questo esercizio che mi ha messo in difficoltà. La richiesta dell'esercizio era: Discutere in funzione del parametro t l'esistenza e il numero di soluzioni del sistema e calcolarle nel caso in cui sono infinite.

$((-8,-4,2t),(5,3,-1),(-3,t,2))$ $((x),(y),(z))$ = $((10),(-6),(5))$

Io ho calcolato le soluzioni t attaverso il calcolo del determinante e mi sono uscite t= 1 e T=-2 dopodiché non sono stata in grado di andare avanti perché non ho ben chiaro quello che viene dopo. So soltanto che il sistema ammette soluzioni nel caso in cui t$!=$1 e t$!=$-2

[IngMarcon]

Ciao ,
scusa sicuro di aver scritto tutto giusta la matrice perche il polinomio della matrice 3x3 a me viene
$ 10t^2-26t+4=0 $
che da ovviamente due t completamente diverse dalle tue per dare soluzione sicura ( dato dal teorema di rouche-capelli )
Comunque trovato le t per il quale la matrice è sicuramente di rango diverso da 3, devi sostituire uno alla volta i t nella matrice per i risultati trovati, dopo di che sai che la matrice non è di rango 3 allora devi vedere se le matrici orlate di rango massimo con i risultati ti danno un rango diverso da 3, se ciò accade allora hai, sempre per il teorema di rouche-capelli, $ oo ^(3-2) $ soluzioni, spero di averti dato qualche input ovviamente poi devi trovare la base delle soluzioni.

[Antimius]

Aggiungo a quanto detto da IngMarcon che bisogna anche considerare il rango della matrice completa:
$$\begin{pmatrix} -8 & -4 & 2t & 10 \\
5 & 3 & -1 & 6 \\
3 & t & 2 & 5 \end{pmatrix}$$
Infatti il sistema non è omogeneo e, se il rango della matrice completa è diverso da (strettamente maggiore di) quello della matrice 3x3, il sistema è incompatibile e non ammette soluzioni.

[martina_c.96]

"IngMarcon":Ciao ,
scusa sicuro di aver scritto tutto giusta la matrice perche il polinomio della matrice 3x3 a me viene
$ 10t^2-26t+4=0 $
che da ovviamente due t completamente diverse dalle tue per dare soluzione sicura ( dato dal teorema di rouche-capelli )
Comunque trovato le t per il quale la matrice è sicuramente di rango diverso da 3, devi sostituire uno alla volta i t nella matrice per i risultati trovati, dopo di che sai che la matrice non è di rango 3 allora devi vedere se le matrici orlate di rango massimo con i risultati ti danno un rango diverso da 3, se ciò accade allora hai, sempre per il teorema di rouche-capelli, $ oo ^(3-2) $ soluzioni, spero di averti dato qualche input ovviamente poi devi trovare la base delle soluzioni.

Pardon, alla terza riga è -3 non 3 comunque ora provo immediatamente a fare quello che mi dici tu grazie mille!!

Edit: quando vado a sostituire 1 alla matrice mi viene 0, però quando sostituisco -2 mi viene -32... eppure ho ricontrollato segni e calcoli 100000000 volte eppure non dovrebbe venire un numero diverso da zero giusto?

[IngMarcon]

"QueenDamine":[quote="IngMarcon"]Ciao ,
scusa sicuro di aver scritto tutto giusta la matrice perche il polinomio della matrice 3x3 a me viene
$ 10t^2-26t+4=0 $
che da ovviamente due t completamente diverse dalle tue per dare soluzione sicura ( dato dal teorema di rouche-capelli )
Comunque trovato le t per il quale la matrice è sicuramente di rango diverso da 3, devi sostituire uno alla volta i t nella matrice per i risultati trovati, dopo di che sai che la matrice non è di rango 3 allora devi vedere se le matrici orlate di rango massimo con i risultati ti danno un rango diverso da 3, se ciò accade allora hai, sempre per il teorema di rouche-capelli, $ oo ^(3-2) $ soluzioni, spero di averti dato qualche input ovviamente poi devi trovare la base delle soluzioni.

Pardon, alla terza riga è -3 non 3 comunque ora provo immediatamente a fare quello che mi dici tu grazie mille!!

Edit: quando vado a sostituire 1 alla matrice mi viene 0, però quando sostituisco -2 mi viene -32... eppure ho ricontrollato segni e calcoli 100000000 volte eppure non dovrebbe venire un numero diverso da zero giusto?[/quote]
Guarda sostituendo -2 a me viene 0 prova a rifare i calcoli con calma. Comunque modifica il testo in alto cambiando il 3 con il -3.

[martina_c.96]

"IngMarcon":Guarda sostituendo -2 a me viene 0 prova a rifare i calcoli con calma. Comunque modifica il testo in alto cambiando il 3 con il -3.

Ok niente, mi viene, il mio cervello era andato momentaneamente in panne grazie dell'aiuto!! Dunque, una volta constatato che sostituendo quei due valori alla matrice viene 0 non ho ben capito cosa dovrei fare... ecco perché studio scienze biologiche e non matematica o ingegneria

[IngMarcon]

Tem ti ha dato una risposta molto esaustiva.
Comunque studiati per bene cosa dice il teorema di rouche capelli.
In parole povere devi vedere se la matrice che contiene sia A(cioè quella 3x3) che B(3x1, le soluzioni) ha rango minore o uguale al rango di A quando sostituisci i valori 1 e -2, quindi gia sai che A ha al massimo rango 2 visto che rendono =0 il determinante.
Ora tu sai che per t diverso da 1 e -2 hai sempre soluzione e unica, ma fare questa prova di da la possibilità di vedere se con 1 e -2 ottieni un sistema impossibile o un sistema con infinite soluzioni.