Matrici e base
Esiste un $K\in R$ tale che $A_1=((1,8),(0,-1)) A_2=((-1,k),(1,-1)) A_3=((2,-1),(1,1)) A_4=((0,0),(2,-3))$ non siano una base di $M_(2,2)(R)$?
Per essere una base, queste matrici devono avere rango massimo.
Quindi calcolo il determinante delle 4 ,matrici e verifico il rango:
$det(A_1)=-1, Rg(A_1)=2$
$det(A_2)=1-k-> k\ne1$ il $det>=1 Rg(A_2)=2$ altrimenti $Rg(A_2)=1$
$det(A_3)=3 ,Rg(A_3)=2$
$det(A_4)=0 ,Rg(A_4)=1$
Quindi non esiste un $k\in R$ tale che tutte e quattro le matrici non siano base di $M_(2,2)(R)$ perché $A_1,A_2$ indipendentemente dal valore di $k$ sono già basi di $M_(2,2)(R)$, mentre la seconda non è base solo se $k=1$ mentre la quarta non è una base.
Spero che sia giusto il ragionanmento
Per essere una base, queste matrici devono avere rango massimo.
Quindi calcolo il determinante delle 4 ,matrici e verifico il rango:
$det(A_1)=-1, Rg(A_1)=2$
$det(A_2)=1-k-> k\ne1$ il $det>=1 Rg(A_2)=2$ altrimenti $Rg(A_2)=1$
$det(A_3)=3 ,Rg(A_3)=2$
$det(A_4)=0 ,Rg(A_4)=1$
Quindi non esiste un $k\in R$ tale che tutte e quattro le matrici non siano base di $M_(2,2)(R)$ perché $A_1,A_2$ indipendentemente dal valore di $k$ sono già basi di $M_(2,2)(R)$, mentre la seconda non è base solo se $k=1$ mentre la quarta non è una base.
Spero che sia giusto il ragionanmento
Risposte
quello che vogliamo capire noi è se tutte e quattro le matrici insieme formano una base per $M_(2,2)(RR)$. quando dici "$ A_1,A_2$ indipendentemente dal valore di k sono già basi di $M_(2,2)(R)$ " stai sbagliano. due delle quattro matrici non possono essere matrici perchè la dimensione di quello spazio vettoriale è 4, quindi la cardinalità dell'insieme dei vettori che formano una base è 4.
per capirlo puoi usare l'isomorfismo usuale e poi studiare il rango della matrice che si forma. se il rango è massimo lo è, altrimenti no.
per capirlo puoi usare l'isomorfismo usuale e poi studiare il rango della matrice che si forma. se il rango è massimo lo è, altrimenti no.
"cooper":
quello che vogliamo capire noi è se tutte e quattro le matrici insieme formano una base per $M_(2,2)(RR)$. quando dici "$ A_1,A_2$ indipendentemente dal valore di k sono già basi di $M_(2,2)(R)$ " stai sbagliano. due delle quattro matrici non possono essere matrici perchè la dimensione di quello spazio vettoriale è 4, quindi la cardinalità dell'insieme dei vettori che formano una base è 4.
per capirlo puoi usare l'isomorfismo usuale e poi studiare il rango della matrice che si forma. se il rango è massimo lo è, altrimenti no.
Dici di formare un'unica grande matrice $4x4$ e calcolare il rango giusto?
esatto
"cooper":
esatto
Ok
Grazie mille
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